Derivadas Direcionais e Gradiente
Calcule Duf no ponto ( 1,1 ) na direcad do veror u=(3,4), dado que f(x, y)=3 x-x y^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f em (1,1) na direção do vetor u=(3,4). O conteúdo é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional, e vamos precisar usar: 1) cálculo das derivadas parciais de f, 2) avaliar o gradiente em (1,1), 3) normalizar u e 4) fazer o produto escalar do gradiente com o vetor direção unitário.

Passo 2

Para começar, lembramos que o gradiente de f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais: nabla f(x,y) = l(fx(x,y),,fy(x,y)r). Aqui f(x,y)=3x - x y^5.
Calculando as derivadas parciais, temos: fx(x,y)=partialpartial xl(3x - x y^5r)=3 - y^5, fy(x,y)=partialpartial yl(3x - x y^5r)=-5x y^4

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,1): fx(1,1)=3 - 1^5=2, fy(1,1)=-5cdot1cdot1^4=-5 Logo, nabla f(1,1) = (2,,-5).

Passo 4

Precisamos do vetor direção unitário de u=(3,4). O módulo de u é |u|=raiz3^2+4^2=5, então hat u=15(3,4)=l(tfrac35,,tfrac45r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional Duf(1,1) é o produto escalar entre nabla f(1,1) e hat u: Duf(1,1)= (2,-5)cdotl(tfrac35,tfrac45r)=2cdot3 + (-5)cdot45=6-205=-145

Resposta

-\tfrac{14}{5}

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