Encontre a linearização da função no ponto a, e utilize a linearização para calcular o valor pedido.
g(x)=raiz[3]x, em a=8 e calcule raiz[3]8,5

Passo 1

O enunciado pede para achar a linearização de g(x)=\sqrt[3]{x} no ponto a=8 e depois usar essa reta para aproximar \sqrt[3]{8,5}. Isso envolve teoria de derivadas e fórmula de linearização L(x)=g(a)+g’(a)(x−a).

Passo 2

Primeiro a gente derivar g(x)=x^{1/3}. Usando regra de potência temos:
g'(x)=13x^-2/3=13x^2/3

Passo 3

Agora avaliamos g(8) e g’(8). Como \sqrt[3]{8}=2 e substituindo em g’(x):
g(8)=2, g'(8)=13cdot8^2/3=13cdot4=112

Passo 4

Com isso, a linearização em a=8 fica:
L(x)=g(8)+g'(8)(x-8)=2+112(x-8)

Passo 5

Para aproximar \sqrt[3]{8,5}, basta calcular L(8,5):
L(8,5)=2+112(8,5-8)=2+0,512=2+124=2,041666dots

Resposta

A linearização em a=8 é
L(x)=2+x-812
e usando-a obtemos
raiz[3]8,5approx2,0417

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