EDOs de
Ordem Resolva
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Passo 2
Primeiro, vamos à parte homogênea
Formamos a equação característica associada:
Percebemos que isso é
, ou seja, raiz dupla
. Quando há raiz dupla, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora vamos buscar uma solução particular
para a parte não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
Calculamos as derivadas:
$$y_p’ = 2Ax + B,
$$
$$y_p’’ = 2A.
$$
Substituímos na EDO original
$$y_p’’ - 2y_p’ + y_p = 2A - 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C).
$$
Colocando em forma polinomial:
$$= Ax^2 + (B - 4A)x + (2A - 2B + C).
$$
Isso deve ser igual a
. Igualando cada coeficiente, obtemos o sistema:
- Para
: . - Para
: - Para termo constante:
Passo 4
Como já temos
,
e
, a solução particular é
$$y_p = x^2 + 7x + 12.
$$
Finalmente, pela linearidade da EDO, a solução geral é a soma de
e
.
Resposta
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e{x}+x{2}+7x+12