EDOs de 2^a Ordem Resolva
y^prime prime-2 y^prime+y=x^2+3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=x^2+3x. O conteúdo principal é: 1) resolver a parte homogênea via equação característica e 2) encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos à parte homogênea
y''-2y'+y=0
Formamos a equação característica associada:
r^2-2r+1=0
Percebemos que isso é (r-1)^2=0, ou seja, raiz dupla r=1. Quando há raiz dupla, a solução geral da homogênea é
yh=C1e^x + C2 x e^x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora vamos buscar uma solução particular yp para a parte não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
yp = Ax^2 + Bx + C
Calculamos as derivadas:
$$y_p’ = 2Ax + B,
$$
$$y_p’’ = 2A.
$$
Substituímos na EDO original
$$y_p’’ - 2y_p’ + y_p = 2A - 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C).
$$
Colocando em forma polinomial:
$$= Ax^2 + (B - 4A)x + (2A - 2B + C).
$$
Isso deve ser igual a yp' = 2Ax + B, . Igualando cada coeficiente, obtemos o sistema:
  • Para yp'' = 2A : yp'' - 2yp' + yp = 2A - 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) .
  • Para = Ax^2 + (B - 4A)x + (2A - 2B + C) : x^2 + 3x
  • Para termo constante: x^2

Passo 4

Como já temos A=1, B=7 e C=12, a solução particular é
$$y_p = x^2 + 7x + 12.
$$
Finalmente, pela linearidade da EDO, a solução geral é a soma de yp = x^2 + 7x + 12 e yh.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e{x}+x{2}+7x+12

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