Ache o máximo o mínimo absoluto da função.
h(x)=x1+x^2, definida em 0 <= x <= 3.

Passo 1

A questão pede os extremos absolutos de h(x)= x/(1+x^2) no intervalo [0,3]. Vamos usar derivadas para detectar máximos e mínimos absolutos de funções num intervalo fechado.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de h(x) usando a regra do quociente. Se h(x)= u(x)/v(x) então h’(x)= (u'v−uv')/v^2. Aqui u(x)=x e v(x)=1+x^2, portanto u’(x)=1 e v’(x)=2x.
Aplicando a fórmula, obtemos:
h'(x)=(1+x^2)cdot1 - xcdot2x(1+x^2)^2 = 1 - x^2(1+x^2)^2

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem h’(x)=0, isto é 1−x^2=0. Assim x=±1. No nosso intervalo [0,3], só x=1 interessa.

Passo 4

Agora avaliamos h(x) nos candidatos a extremos: nas bordas x=0 e x=3, e no ponto crítico x=1.
Calculamos:
h(0)=01+0=0,
h(1)=11+1=12,
h(3)=31+9=310=0,3

Passo 5

Comparando os valores, o menor é 0 (em x=0) e o maior é 1/2 (em x=1). No ponto x=3 o valor 0,3 está entre esses extremos e não é absoluto.

Resposta

O mínimo absoluto é 0 em x=0 e o máximo absoluto é 1/2 em x=1.

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