Ache o máximo o mínimo absoluto da função.
, definida em
.
Passo 1
A questão pede os extremos absolutos de h(x)=
no intervalo [0,3]. Vamos usar derivadas para detectar máximos e mínimos absolutos de funções num intervalo fechado.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada de h(x) usando a regra do quociente. Se h(x)=
então h’(x)=
. Aqui u(x)=x e v(x)=1+x^2, portanto u’(x)=1 e v’(x)=2x.
Aplicando a fórmula, obtemos:
Aplicando a fórmula, obtemos:
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem h’(x)=0, isto é 1−x^2=0. Assim x=±1. No nosso intervalo [0,3], só x=1 interessa.
Passo 4
Agora avaliamos h(x) nos candidatos a extremos: nas bordas x=0 e x=3, e no ponto crítico x=1.
Calculamos:
Calculamos:
Passo 5
Comparando os valores, o menor é 0 (em x=0) e o maior é 1/2 (em x=1). No ponto x=3 o valor 0,3 está entre esses extremos e não é absoluto.
Resposta
O mínimo absoluto é 0 em x=0 e o máximo absoluto é 1/2 em x=1.