Ache o máximo e o mínimo absolutos de f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{3} em R , sendo R a região triangular com vértices (1,2),(1,-2) e (-1,-2).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se achar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f(x,y)=x^{3}+3xy-y^{3} na região R.
  • A região R é um triângulo cujos vértices são (1,2), (1,-2) e (-1,-2).
  • Assim, R é compacto (fechado e limitado) e f é contínua, então sabemos que existe ao menos um máximo absoluto e ao menos um mínimo absoluto em R.
  • Objetivo prático: encontrar todos os pontos candidatos (pontos críticos internos e extremos nas fronteiras) e comparar os valores de f nesses pontos para decidir os extremos globais.

Passo 2

Estratégia de resolução (passo a passo do que será feito):
  • Encontrar pontos críticos resolvendo \nabla f=\mathbf{0} (derivadas parciais iguais a zero). Se algum ponto crítico ficar estritamente no interior de R, avaliar ali.
  • Analisar cada aresta do triângulo como um problema unidimensional (parametrizar a aresta, reduzir f a uma função de uma variável, encontrar extremos locais na faixa e avaliar nas extremidades).
  • Comparar todos os valores obtidos (vértices, pontos críticos na fronteira e eventuais pontos críticos interiores) para decidir máximo e mínimo absolutos.
    Explicação curta: como R é compacto, basta comparar valores em pontos críticos internos e em extremos das fronteiras.

Passo 3

Derivadas parciais e pontos críticos internos:
  • Calcular as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+3xy-y^{3}\bigr)=3x^{2}+3y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+3xy-y^{3}\bigr)=3x-3y^{2}.
  • Resolver \nabla f=(0,0), ou seja o sistema
3x^{2}+3y=0,\qquad 3x-3y^{2}=0.
Dividindo por 3 em cada equação, obtemos
x^{2}+y=0,\qquad x-y^{2}=0.
Da segunda, x=y^{2}. Substituindo na primeira:
(y^{2})^{2}+y=0 \quad\Rightarrow\quad y^{4}+y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y^{3}+1)=0.
Assim y=0 ou y^{3}=-1\Rightarrow y=-1.
  • Para y=0 temos x=y^{2}=0, então ponto (0,0).
  • Para y=-1 temos x=y^{2}=1, então ponto (1,-1).

Passo 4

Verificar se os pontos críticos são internos a R ou estão na fronteira:
  • A hipotenusa (aresta inclinada) do triângulo liga (-1,-2) a (1,2). A equação da reta que passa por esses pontos: calcule a inclinação
m=\frac{2-(-2)}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2,
e usando o ponto (-1,-2) obtém-se y+2=2(x+1)\Rightarrow y=2x. Logo a aresta inclinada é y=2x.
  • O segmento vertical direito é x=1 com y\in[-2,2].
  • O segmento inferior é y=-2 com x\in[-1,1].
Verificar os pontos críticos:
  • (0,0) satisfaz y=2x (pois 0=2\cdot0), logo (0,0) está sobre a hipotenusa (ou seja, na fronteira), não estritamente interno.
  • (1,-1) tem x=1 e y=-1, portanto está sobre o segmento vertical x=1 (fronteira).
    Conclusão: não há pontos críticos estritamente no interior de R; os pontos críticos encontrados estão na fronteira e serão examinados junto com as otimizações unidimensionais das arestas.

Passo 5

Avaliar f nos vértices (sempre candidatos):
  • Em (1,2):
f(1,2)=1^{3}+3\cdot1\cdot2-2^{3}=1+6-8=-1.
  • Em (1,-2):
f(1,-2)=1^{3}+3\cdot1\cdot(-2)-(-2)^{3}=1-6+8=3.
  • Em (-1,-2):
f(-1,-2)=(-1)^{3}+3\cdot(-1)\cdot(-2)-(-2)^{3}=-1+6+8=13.

Passo 6

Analisar a aresta vertical x=1, com y\in[-2,2]:
  • Definir g(y)=f(1,y)=1^{3}+3\cdot1\cdot y-y^{3}=1+3y-y^{3}.
  • Derivada: g'(y)=3-3y^{2}=3(1-y^{2}). Zeros em y=\pm1, ambos no intervalo [-2,2].
  • Avaliar g em candidatos:
g(-2)=f(1,-2)=3 \quad(\text{já calculado}),á
g(-1)=f(1,-1)=1+3(-1)-(-1)^{3}=1-3+1=-1,
g(1)=f(1,1)=1+3(1)-1=3,
g(2)=f(1,2)=-1 \quad(\text{já calculado}).á
  • Conclusão nesta aresta: valores críticos são 3 em y=-2 e y=1, e -1 em y=-1 e y=2.

Passo 7

Analisar a aresta inferior y=-2, com x\in[-1,1]:
  • Definir h(x)=f(x,-2)=x^{3}+3x(-2)-(-2)^{3}=x^{3}-6x+8.
  • Derivada: h'(x)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2). Zeros em x=\pm\sqrt{2}, que não pertencem ao intervalo [-1,1].
  • Portanto não há extremos internos nessa aresta; extremos ocorrem nas extremidades x=-1 e x=1, já avaliadas:
h(-1)=f(-1,-2)=13,\qquad h(1)=f(1,-2)=3.

Passo 8

Analisar a aresta inclinada y=2x, com x\in[-1,1]:
  • Substituir y=2x em f:
k(x)=f(x,2x)=x^{3}+3x(2x)-(2x)^{3}=x^{3}+6x^{2}-8x^{3}=-7x^{3}+6x^{2}.
  • Derivada:
k'(x)=-21x^{2}+12x=-3x(7x-4).
Zera em x=0 e x=\dfrac{4}{7}, ambos em [-1,1].
  • Avaliar k nos pontos relevantes:
k(-1)=f(-1,-2)=13,
k(0)=f(0,0)=0,
k\!\left(\tfrac{4}{7}\right)=-7\left(\tfrac{4}{7}\right)^{3}+6\left(\tfrac{4}{7}\right)^{2}=\frac{224}{343}=\frac{32}{49}\approx0{,}65306,
k(1)=f(1,2)=-1.

Passo 9

Reunir todos os valores candidatos e escolher o máximo e o mínimo absolutos:
Lista de pontos candidatos com seus valores (reunião de vértices, pontos críticos na fronteira e extremos das arestas):
  • (-1,-2): f=13.
  • (1,-2): f=3.
  • (1,1): f=3.
  • (1,2): f=-1.
  • (1,-1): f=-1.
  • (0,0): f=0.
  • \bigl(\tfrac{4}{7},\tfrac{8}{7}\bigr): f=\dfrac{32}{49}\approx0{,}65306.
Comparando os valores, o maior valor encontrado é 13 em (-1,-2) e o menor valor encontrado é -1, que ocorre em (1,2) e em (1,-1).

Resposta

Máximo absoluto: (-1,-2) com f(-1,-2)=13
Mínimo absoluto: (1,2) e (1,-1) com f(1,2)=f(1,-1)=-1

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