Ache o máximo e o mínimo absolutos de
em R , sendo R a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede-se achar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
na região . - A região
é um triângulo cujos vértices são , e . - Assim,
é compacto (fechado e limitado) e é contínua, então sabemos que existe ao menos um máximo absoluto e ao menos um mínimo absoluto em . - Objetivo prático: encontrar todos os pontos candidatos (pontos críticos internos e extremos nas fronteiras) e comparar os valores de
nesses pontos para decidir os extremos globais.
Passo 2
Estratégia de resolução (passo a passo do que será feito):
- Encontrar pontos críticos resolvendo
(derivadas parciais iguais a zero). Se algum ponto crítico ficar estritamente no interior de , avaliar ali. - Analisar cada aresta do triângulo como um problema unidimensional (parametrizar a aresta, reduzir
a uma função de uma variável, encontrar extremos locais na faixa e avaliar nas extremidades). - Comparar todos os valores obtidos (vértices, pontos críticos na fronteira e eventuais pontos críticos interiores) para decidir máximo e mínimo absolutos.
Explicação curta: comoé compacto, basta comparar valores em pontos críticos internos e em extremos das fronteiras.
Passo 3
Derivadas parciais e pontos críticos internos:
- Calcular as derivadas parciais de
:
- Resolver
, ou seja o sistema
Dividindo por
em cada equação, obtemos
Da segunda,
. Substituindo na primeira:
Assim
ou
.
- Para
temos , então ponto . - Para
temos , então ponto .
Passo 4
Verificar se os pontos críticos são internos a
ou estão na fronteira:
- A hipotenusa (aresta inclinada) do triângulo liga
a . A equação da reta que passa por esses pontos: calcule a inclinação
e usando o ponto
obtém-se
. Logo a aresta inclinada é
.
- O segmento vertical direito é
com . - O segmento inferior é
com .
Verificar os pontos críticos:
-
satisfaz (pois ), logo está sobre a hipotenusa (ou seja, na fronteira), não estritamente interno. -
tem e , portanto está sobre o segmento vertical (fronteira).
Conclusão: não há pontos críticos estritamente no interior de; os pontos críticos encontrados estão na fronteira e serão examinados junto com as otimizações unidimensionais das arestas.
Passo 5
Avaliar
nos vértices (sempre candidatos):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Analisar a aresta vertical
, com
:
- Definir
. - Derivada:
. Zeros em , ambos no intervalo . - Avaliar
em candidatos:
- Conclusão nesta aresta: valores críticos são
em e , e em e .
Passo 7
Analisar a aresta inferior
, com
:
- Definir
. - Derivada:
. Zeros em , que não pertencem ao intervalo . - Portanto não há extremos internos nessa aresta; extremos ocorrem nas extremidades
e , já avaliadas:
Passo 8
Analisar a aresta inclinada
, com
:
- Substituir
em :
- Derivada:
Zera em
e
, ambos em
.
- Avaliar
nos pontos relevantes:
Passo 9
Reunir todos os valores candidatos e escolher o máximo e o mínimo absolutos:
Lista de pontos candidatos com seus valores (reunião de vértices, pontos críticos na fronteira e extremos das arestas):
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Comparando os valores, o maior valor encontrado é
em
e o menor valor encontrado é
, que ocorre em
e em
.
Resposta
Máximo absoluto:
com
Mínimo absoluto: e
com
Mínimo absoluto: