Exercício 3. Determine (sem resolver o PVI, usando o Teorema de Existência e Unicidade) um intervalo no qual a solução existe.
(a)
(t-3) y^{\prime}+(\ln t) y=2 t, \quad y(1)=2
(b)
y^{\prime}+(\tan t) y=\sin t, \quad y(\pi)=0
(c)
(\ln t) y^{\prime}+y=\cot t, \quad y(2)=3
(d)
\left(4-t^{2}\right) y^{\prime}+2 t y=3 t^{2}, \quad y(-3)=1

Passo 1

O enunciado pede para, sem resolver os PVI, determinar um intervalo no qual a solução existe (e é única) para cada um dos quatro problemas iniciais. Os PVI fornecidos são:
(a) (t-3)\,y^{\prime}+(\ln t)\,y=2t,\qquad y(1)=2.
(b) y^{\prime}+(\tan t)\,y=\sin t,\qquad y(\pi)=0.
(c) (\ln t)\,y^{\prime}+y=\cot t,\qquad y(2)=3.
(d) \left(4-t^{2}\right)\,y^{\prime}+2t\,y=3t^{2},\qquad y(-3)=1.
Informações relevantes dadas: cada PVI tem um ponto inicial (condição y(t_{0})) e coeficientes que podem apresentar singularidades (zeros no coeficiente de y^{\prime} ou pontos onde funções como \ln t, \tan t, \cot t não são contínuas). A tarefa é identificar, para cada caso, um intervalo aberto contendo t_{0} onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Existência e Unicidade (versão útil aqui). Para a equação linear de primeira ordem na forma
y^{\prime}+p(t)\,y=g(t),
se p e g são contínuas em um intervalo aberto I que contém t_{0}, então existe uma única solução y(t) definida em todo esse intervalo I que satisfaz a condição y(t_{0})=y_{0}.
Para a forma geral
a(t)\,y^{\prime}+b(t)\,y=f(t),
pode-se escrever na forma padrão dividindo por a(t), desde que a(t)\neq0. Então a condição passa a ser: escolher um intervalo I contendo t_{0} em que a(t)\neq0 e em que as funções b(t)/a(t) e f(t)/a(t) sejam contínuas. Nessas condições existe e é única a solução no intervalo I.
Estratégia prática (o que vamos aplicar a cada item): 1) colocar a equação na forma padrão y^{\prime}+p(t)y=g(t) (dividindo por a(t) se preciso); 2) identificar pontos onde aparecem descontinuidades ou divisão por zero (zeros de a(t), pontos onde \ln t ou \tan t ou \cot t não são definidas); 3) escolher o maior intervalo aberto que contenha t_{0} e que evite essas singularidades. Esse será um intervalo válido onde a solução existe e é única.

Passo 3

Reescrever em forma padrão: dividir por t-3 (válido onde t-3\neq0):
y^{\prime}+\frac{\ln t}{t-3}\,y=\frac{2t}{\,t-3\,}.
Aqui p(t)=\dfrac{\ln t}{t-3} e g(t)=\dfrac{2t}{t-3}.
Identificar singularidades:
  • \ln t só está definida (e contínua) para t>0; portanto já precisamos t>0.
  • Há divisão por t-3, logo há singularidade em t=3.
Procuramos um intervalo aberto que contenha t_{0}=1, evite t\le0 e evite t=3. O intervalo aberto máximo contendo 1 sem essas singularidades é
(0,3).
Nesse intervalo p e g são contínuas, logo pelo Teorema existe e é única a solução em (0,3).

Passo 4

A equação já está na forma padrão:
y^{\prime}+(\tan t)\,y=\sin t,
com p(t)=\tan t e g(t)=\sin t.
Identificar singularidades:
  • \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} não é definida quando \cos t=0, ou seja em t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Procuramos um intervalo aberto que contenha t_{0}=\pi e que não contenha pontos onde \cos t=0. Os dois valores de singularidade mais próximos de \pi são \dfrac{\pi}{2} (à esquerda) e \dfrac{3\pi}{2} (à direita). Portanto o maior intervalo aberto contendo \pi em que p e g são contínuas é
\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right).
Nesse intervalo a solução existe e é única.

Passo 5

Dividir por \ln t (válido onde \ln t\neq0 e t>0):
y^{\prime}+\frac{1}{\ln t}\,y=\frac{\cot t}{\ln t}.
Aqui p(t)=\dfrac{1}{\ln t} e g(t)=\dfrac{\cot t}{\ln t}.
Identificar singularidades:
  • \ln t está definida apenas para t>0 e anula-se em t=1. Logo t=1 é ponto proibido (divisão por zero).
  • \cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t} não é definida quando \sin t=0, i.e. t=k\pi, k\in\mathbb{Z}. O ponto mais próximo à direita de 2 com \sin t=0 é t=\pi (aprox. 3{,}1415); à esquerda está t=0.
Procuramos o maior intervalo aberto contendo t_{0}=2 que evite t=1 (onde \ln t=0) e evite t=\pi (onde \cot t não é definida). Esse intervalo é
(1,\pi).
No intervalo (1,\pi) as funções p e g são contínuas, então a solução existe e é única ali.

Passo 6

Dividir por 4-t^{2} (válido onde 4-t^{2}\neq0):
y^{\prime}+\frac{2t}{4-t^{2}}\,y=\frac{3t^{2}}{4-t^{2}}.
Aqui p(t)=\dfrac{2t}{4-t^{2}} e g(t)=\dfrac{3t^{2}}{4-t^{2}}.
Identificar singularidades:
  • 4-t^{2}=0 quando t=\pm2. Esses são pontos onde a divisão não é permitida.
  • Não há outras funções problemáticas além desses pontos.
Procuramos um intervalo aberto que contenha t_{0}=-3 e que evite t=\pm2. Como -3<-2, o maior intervalo aberto contendo -3 sem cruzar as singularidades é
(-\infty,-2).
Nesse intervalo p e g são contínuas e, portanto, existe e é única a solução em (-\infty,-2).

Resposta

(a) (0,3)
(b) \left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right)
(c) (1,\pi)
(d) (-\infty,-2)

Exercícios relacionados