Exercício 3. Determine (sem resolver o PVI, usando o Teorema de Existência e Unicidade) um intervalo no qual a solução existe.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para, sem resolver os PVI, determinar um intervalo no qual a solução existe (e é única) para cada um dos quatro problemas iniciais. Os PVI fornecidos são:
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes dadas: cada PVI tem um ponto inicial (condição
) e coeficientes que podem apresentar singularidades (zeros no coeficiente de
ou pontos onde funções como
,
,
não são contínuas). A tarefa é identificar, para cada caso, um intervalo aberto contendo
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Existência e Unicidade (versão útil aqui). Para a equação linear de primeira ordem na forma
se
e
são contínuas em um intervalo aberto
que contém
, então existe uma única solução
definida em todo esse intervalo
que satisfaz a condição
.
Para a forma geral
pode-se escrever na forma padrão dividindo por
, desde que
. Então a condição passa a ser: escolher um intervalo
contendo
em que
e em que as funções
e
sejam contínuas. Nessas condições existe e é única a solução no intervalo
.
Estratégia prática (o que vamos aplicar a cada item): 1) colocar a equação na forma padrão
(dividindo por
se preciso); 2) identificar pontos onde aparecem descontinuidades ou divisão por zero (zeros de
, pontos onde
ou
ou
não são definidas); 3) escolher o maior intervalo aberto que contenha
e que evite essas singularidades. Esse será um intervalo válido onde a solução existe e é única.
Passo 3
Reescrever em forma padrão: dividir por
(válido onde
):
Aqui
e
.
Identificar singularidades:
-
só está definida (e contínua) para ; portanto já precisamos . - Há divisão por
, logo há singularidade em .
Procuramos um intervalo aberto que contenha
, evite
e evite
. O intervalo aberto máximo contendo
sem essas singularidades é
Nesse intervalo
e
são contínuas, logo pelo Teorema existe e é única a solução em
.
Passo 4
A equação já está na forma padrão:
com
e
.
Identificar singularidades:
-
não é definida quando , ou seja em , .
Procuramos um intervalo aberto que contenha
e que não contenha pontos onde
. Os dois valores de singularidade mais próximos de
são
(à esquerda) e
(à direita). Portanto o maior intervalo aberto contendo
em que
e
são contínuas é
Nesse intervalo a solução existe e é única.
Passo 5
Dividir por
(válido onde
e
):
Aqui
e
.
Identificar singularidades:
-
está definida apenas para e anula-se em . Logo é ponto proibido (divisão por zero). -
não é definida quando , i.e. , . O ponto mais próximo à direita de com é (aprox. ); à esquerda está .
Procuramos o maior intervalo aberto contendo
que evite
(onde
) e evite
(onde
não é definida). Esse intervalo é
No intervalo
as funções
e
são contínuas, então a solução existe e é única ali.
Passo 6
Dividir por
(válido onde
):
Aqui
e
.
Identificar singularidades:
-
quando . Esses são pontos onde a divisão não é permitida. - Não há outras funções problemáticas além desses pontos.
Procuramos um intervalo aberto que contenha
e que evite
. Como
, o maior intervalo aberto contendo
sem cruzar as singularidades é
Nesse intervalo
e
são contínuas e, portanto, existe e é única a solução em
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)