Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la por meio de uma substituição apropriada. As informações relevantes que temos:
- A EDO é de primeira ordem, não linear (presença de
). - Deve ser feita uma substituição que simplifique a dependência entre
e . - É necessário ter cuidado com
(pois há fatores e na equação).
O objetivo final é obter a família de soluções gerais (e apontar soluções singulares, se existirem).
Passo 2
Observação para escolher a substituição: os termos da EDO são
,
e
. Isso sugere tentar uma substituição do tipo
ou seja, definir
. A ideia é que fatores de
se cancelem e a equação fique mais simples. Vamos fazer essa substituição explicitamente.
Passo 3
Calcular
em função de
e
. Com
temos, usando a regra do produto,
Substituindo
e
na EDO original:
Agora simplificar passo a passo.
Passo 4
Expandindo e simplificando os termos:
Repare que
aparece nos dois lados; subtraindo
de ambos os lados obtemos
Como
é fator comum, podemos dividir por
(assumindo
):
Passo 5
A equação obtida é separável. Reescrevendo:
Separando variáveis:
Agora integramos ambos os lados.
Passo 6
Calcular as integrais:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
. Assim:
onde
é constante arbitrária de integração. Multiplicando por
:
Podemos renomear a constante para
ou simplesmente escrever
Passo 7
Isolando
:
Voltando à variável original
, lembrando que
, obtemos a família de soluções
Aqui é preciso lembrar as restrições de domínio:
e
(para evitar divisão por zero). Além disso, existe a solução trivial
que também satisfaz a equação original (verificar: se
então
e
, logo a equação é satisfeita).