Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t^{2} \frac{d y}{d t}+y^{2}=t y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}\frac{dy}{dt}+y^{2}=t\,y,
e pede para resolvê‑la por meio de uma substituição apropriada. As informações relevantes que temos:
  • A EDO é de primeira ordem, não linear (presença de y^{2}).
  • Deve ser feita uma substituição que simplifique a dependência entre y e t.
  • É necessário ter cuidado com t=0 (pois há fatores t e t^{2} na equação).
O objetivo final é obter a família de soluções gerais (e apontar soluções singulares, se existirem).

Passo 2

Observação para escolher a substituição: os termos da EDO são t^{2}y', y^{2} e t y. Isso sugere tentar uma substituição do tipo
y = t z(t),
ou seja, definir z=\dfrac{y}{t}. A ideia é que fatores de t se cancelem e a equação fique mais simples. Vamos fazer essa substituição explicitamente.

Passo 3

Calcular y' em função de z e z'. Com y=t z temos, usando a regra do produto,
\frac{dy}{dt}=z + t\frac{dz}{dt}.
Substituindo y e y' na EDO original:
t^{2}\biggl(z + t\frac{dz}{dt}\biggr) + (t z)^{2} = t\cdot(t z).
Agora simplificar passo a passo.

Passo 4

Expandindo e simplificando os termos:
t^{2}z + t^{3}\frac{dz}{dt} + t^{2}z^{2} = t^{2}z.
Repare que t^{2}z aparece nos dois lados; subtraindo t^{2}z de ambos os lados obtemos
t^{3}\frac{dz}{dt} + t^{2}z^{2} = 0.
Como t^{2} é fator comum, podemos dividir por t^{2} (assumindo t\neq 0):
t\frac{dz}{dt} + z^{2} = 0.

Passo 5

A equação obtida é separável. Reescrevendo:
t\frac{dz}{dt} = -z^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dz}{dt} = -\frac{z^{2}}{t}.
Separando variáveis:
\frac{dz}{z^{2}} = -\frac{dt}{t}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 6

Calcular as integrais:
\int \frac{dz}{z^{2}} = \int -\frac{dt}{t}.
A integral do lado esquerdo é \displaystyle \int z^{-2}dz = -z^{-1} e a do lado direito é -\ln|t| + C. Assim:
- \frac{1}{z} = -\ln|t| + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Multiplicando por -1:
\frac{1}{z} = \ln|t| - C.
Podemos renomear a constante para C_{1}=-C ou simplesmente escrever
\frac{1}{z} = \ln|t| + C_{1}.

Passo 7

Isolando z:
z = \frac{1}{\ln|t| + C_{1}}.
Voltando à variável original y, lembrando que y = t z, obtemos a família de soluções
y(t) = \frac{t}{\ln|t| + C_{1}}.
Aqui é preciso lembrar as restrições de domínio: t\neq 0 e \ln|t| + C_{1}\neq 0 (para evitar divisão por zero). Além disso, existe a solução trivial y\equiv 0 que também satisfaz a equação original (verificar: se y=0 então t^{2}y'=0 e y^{2}=0, logo a equação é satisfeita).

Resposta

y(t)=\dfrac{t}{\ln|t|+C}, com C constante arbitrária e t\neq 0, \ln|t|+C\neq 0
y(t)\equiv 0

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