Ache o máximo e o mínimo de f em R. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{3} ;
a região triangular R com vértices (1,2),(1,-2) e (-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede: "Ache o máximo e o mínimo de f em R". As informações dadas são:
  • A função é f(x,y)=x^{3}+3xy-y^{3}.
  • A região R é o triângulo com vértices (1,2), (1,-2) e (-1,-2).
  • Portanto R é a região fechada e limitada (triângulo) formada por três lados: o lado vertical entre (1,-2) e (1,2), o lado horizontal entre (1,-2) e (-1,-2) e a hipotenusa entre (-1,-2) e (1,2).
As perguntas explícitas são:
  • Qual é o valor máximo de f em R e onde ele ocorre?
  • Qual é o valor mínimo de f em R e onde ele ocorre?

Passo 2

Princípio usado (explicação didática): como R é fechado e limitado e f é contínua, f atinge máximo e mínimo em R. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou nas fronteiras do triângulo. Então vamos:
  1. encontrar pontos críticos resolvendo \nabla f=\mathbf{0};
  2. verificar se esses pontos ficam dentro de R (interior) ou na fronteira;
  3. analisar cada lado da fronteira como função de uma variável e achar extremos lá;
  4. comparar todos os valores candidatos para determinar máximo e mínimo globais.

Passo 3

Calcular o gradiente e achar pontos críticos:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3x-3y^{2}.
Igualando a zero:
3x^{2}+3y=0\quad\Rightarrow\quad y=-x^{2},
3x-3y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=y^{2}.
Substituindo x=y^{2} na primeira: y=-(y^{2})^{2}=-y^{4}. Portanto
y+y^{4}=0\quad\Rightarrow\quad y(1+y^{3})=0.
As soluções são y=0 ou y^{3}=-1\Rightarrow y=-1.
  • Se y=0 então x=y^{2}=0, obtendo o ponto (0,0).
  • Se y=-1 então x=y^{2}=1, obtendo o ponto (1,-1).
São estes os pontos críticos do interior do plano. Agora precisamos verificar se pertencem a R.

Passo 4

Caracterizar a região R (equação da hipotenusa e desigualdades que descrevem o triângulo):
A reta que passa por (-1,-2) e (1,2) tem inclinação \dfrac{2-(-2)}{1-(-1)}=\dfrac{4}{2}=2. Sua equação é
y=2x.
Assim uma descrição conveniente de R é
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; -2\le y\le 2x\}.
Agora verificar os pontos críticos:
  • (0,0): para x=0 temos y\le 2x=0 e y\ge -2; aqui y=0 então (0,0) está sobre a hipotenusa (fronteira), não estritamente no interior.
  • (1,-1): para x=1 temos y entre -2 e 2; aqui y=-1 portanto (1,-1) está sobre o lado vertical x=1 (fronteira).
    Conclusão: não há pontos críticos estritamente interiores; ambos os pontos críticos ficam na fronteira. Logo os extremos globais ocorrerão na fronteira do triângulo (incluindo vértices).

Passo 5

Analisar cada lado da fronteira como problema unidimensional (usar derivada simples e checar extremos interiores + extremos em vértices).
Lado AB: é o segmento entre (1,-2) e (1,2); aí x=1, y\in[-2,2]. Restrição:
g_{AB}(y)=f(1,y)=1^{3}+3(1)y-y^{3}=1+3y-y^{3}.
Derivada:
g'_{AB}(y)=3-3y^{2}=3(1-y^{2}).
Zerando: y=\pm 1 (ambos em [-2,2]). Avaliar em candidatos y=-2,-1,1,2.
Lado BC: é o segmento entre (1,-2) e (-1,-2); aí y=-2, x\in[-1,1]. Restrição:
g_{BC}(x)=f(x,-2)=x^{3}+3x(-2)-(-2)^{3}=x^{3}-6x+8.
Derivada:
g'_{BC}(x)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2).
Zerando: x=\pm\sqrt{2}, que não pertencem ao intervalo [-1,1]. Então não há extremos internos no segmento além dos extremos em x=-1 e x=1.
Lado CA (hipotenusa): é o segmento entre (-1,-2) e (1,2); aí y=2x, x\in[-1,1]. Restrição:
g_{CA}(x)=f(x,2x)=x^{3}+3x(2x)-(2x)^{3}=x^{3}+6x^{2}-8x^{3}=-7x^{3}+6x^{2}.
Derivada:
g'_{CA}(x)=-21x^{2}+12x=-3x(7x-4).
Zerando: x=0 e x=\dfrac{4}{7}, ambos em [-1,1]. Avaliar em x=-1,0,\dfrac{4}{7},1.

Passo 6

Calcular f nos pontos candidatos (vértices, pontos críticos sobre lados e pontos extremos dos lados):
Liste de pontos candidatos (removendo repetições):
(1,2),\\ (1,-2),\\ (-1,-2),\\ (1,1),\\ (1,-1),\\ (0,0),\\ \Bigl(\dfrac{4}{7},\dfrac{8}{7}\Bigr).
Agora avaliar f em cada um (fazer contas passo a passo).
  1. Em (1,2):
f(1,2)=1^{3}+3\cdot1\cdot2-2^{3}=1+6-8=-1.
  1. Em (1,-2):
f(1,-2)=1^{3}+3\cdot1\cdot(-2)-(-2)^{3}=1-6+8=3.
  1. Em (-1,-2):
f(-1,-2)=(-1)^{3}+3(-1)(-2)-(-2)^{3}=-1+6+8=13.
  1. Em (1,1) (ponto crítico sobre x=1):
f(1,1)=1+3\cdot1\cdot1-1^{3}=1+3-1=3.
  1. Em (1,-1) (ponto crítico sobre x=1):
f(1,-1)=1+3\cdot1\cdot(-1)-(-1)^{3}=1-3+1=-1.
  1. Em (0,0) (ponto crítico sobre a hipotenusa):
f(0,0)=0.
  1. Em \Bigl(\dfrac{4}{7},\dfrac{8}{7}\Bigr) (ponto crítico sobre a hipotenusa):
    Calcule por partes:
x=\dfrac{4}{7}\Rightarrow x^{3}=\dfrac{64}{343},\qquad y=\dfrac{8}{7}\Rightarrow y^{3}=\dfrac{512}{343},
3xy=3\cdot\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{8}{7}=3\cdot\dfrac{32}{49}=\dfrac{96}{49}=\dfrac{672}{343}.
Logo
f\Bigl(\dfrac{4}{7},\dfrac{8}{7}\Bigr)=\dfrac{64}{343}+\dfrac{672}{343}-\dfrac{512}{343}=\dfrac{64+672-512}{343}=\dfrac{224}{343}=\dfrac{32}{49}\approx0{,}65306.

Passo 7

Comparar os valores obtidos:
  • f(1,2)=-1.
  • f(1,-2)=3.
  • f(-1,-2)=13.
  • f(1,1)=3.
  • f(1,-1)=-1.
  • f(0,0)=0.
  • f\bigl(\tfrac{4}{7},\tfrac{8}{7}\bigr)=\tfrac{32}{49}\approx0{,}65.
O maior valor entre esses é 13 em (-1,-2). O menor valor entre esses é -1, que ocorre em dois pontos: (1,2) e (1,-1).

Resposta

Máximo: 13 em (-1,-2)
Mínimo: -1 em (1,2) e (1,-1)

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