Ache o máximo e o mínimo de
em
. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
a região triangular
com vértices
e
.
a região triangular
Passo 1
O enunciado pede: "Ache o máximo e o mínimo de
em
". As informações dadas são:
- A função é
- A região
é o triângulo com vértices , e . - Portanto
é a região fechada e limitada (triângulo) formada por três lados: o lado vertical entre e , o lado horizontal entre e e a hipotenusa entre e .
As perguntas explícitas são:
- Qual é o valor máximo de
em e onde ele ocorre? - Qual é o valor mínimo de
em e onde ele ocorre?
Passo 2
Princípio usado (explicação didática): como
é fechado e limitado e
é contínua,
atinge máximo e mínimo em
. Esses extremos podem ocorrer em pontos críticos internos (onde o gradiente é zero) ou nas fronteiras do triângulo. Então vamos:
- encontrar pontos críticos resolvendo
; - verificar se esses pontos ficam dentro de
(interior) ou na fronteira; - analisar cada lado da fronteira como função de uma variável e achar extremos lá;
- comparar todos os valores candidatos para determinar máximo e mínimo globais.
Passo 3
Calcular o gradiente e achar pontos críticos:
Igualando a zero:
Substituindo
na primeira:
. Portanto
As soluções são
ou
.
- Se
então , obtendo o ponto . - Se
então , obtendo o ponto .
São estes os pontos críticos do interior do plano. Agora precisamos verificar se pertencem a
.
Passo 4
Caracterizar a região
(equação da hipotenusa e desigualdades que descrevem o triângulo):
A reta que passa por e
tem inclinação
. Sua equação é
A reta que passa por
Assim uma descrição conveniente de
é
Agora verificar os pontos críticos:
-
: para temos e ; aqui então está sobre a hipotenusa (fronteira), não estritamente no interior. -
: para temos entre e ; aqui portanto está sobre o lado vertical (fronteira).
Conclusão: não há pontos críticos estritamente interiores; ambos os pontos críticos ficam na fronteira. Logo os extremos globais ocorrerão na fronteira do triângulo (incluindo vértices).
Passo 5
Analisar cada lado da fronteira como problema unidimensional (usar derivada simples e checar extremos interiores + extremos em vértices).
Lado
: é o segmento entre
e
; aí
,
. Restrição:
Derivada:
Zerando:
(ambos em
). Avaliar em candidatos
.
Lado
: é o segmento entre
e
; aí
,
. Restrição:
Derivada:
Zerando:
, que não pertencem ao intervalo
. Então não há extremos internos no segmento além dos extremos em
e
.
Lado
(hipotenusa): é o segmento entre
e
; aí
,
. Restrição:
Derivada:
Zerando:
e
, ambos em
. Avaliar em
.
Passo 6
Calcular
nos pontos candidatos (vértices, pontos críticos sobre lados e pontos extremos dos lados):
Liste de pontos candidatos (removendo repetições):
Agora avaliar
em cada um (fazer contas passo a passo).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
(ponto crítico sobre ):
- Em
(ponto crítico sobre ):
- Em
(ponto crítico sobre a hipotenusa):
- Em
(ponto crítico sobre a hipotenusa):
Calcule por partes:
Logo
Passo 7
Comparar os valores obtidos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
O maior valor entre esses é
em
. O menor valor entre esses é
, que ocorre em dois pontos:
e
.
Resposta
Máximo:
em
Mínimo: em
e
Mínimo: