Ache o máximo e o mínimo de
em
. (Recorra aos Exercícios 3-8 para extremos locais.)
a região triangular
delimitada pelas retas
,
e
.
a região triangular
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A função é
. - A região
é o triângulo limitado pelas retas , e .
Informações geométricas úteis (obtidas das retas dadas):
- As interseções dessas retas são os vértices do triângulo:
-
com dá o ponto . -
com dá o ponto . -
com dá o ponto .
-
- Portanto
.
O que o enunciado pede: encontrar o máximo e o mínimo de
em toda a região fechada e limitada
. Pela teoria (extreme value theorem) uma função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo; então devo checar:
- pontos críticos interiores (onde
); - extremos ao longo de cada aresta (reduzindo a um problema de uma variável);
- os vértices.
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior de
.
Primeiro calculemos o gradiente de
. Lembre-se:
, onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
a derivada parcial em relação a
.
Para pontos críticos temos
, ou seja:
Resolvendo:
Verificação de interior:
satisfaz
e
, logo está no interior de
. Portanto é um candidato a extremo.
Agora classificar esse ponto crítico. Use a matriz Hessiana
com as segundas derivadas:
Para uma matriz diagonal com entradas negativas,
é definida negativa (ambos autovalores negativos). Resultado: o ponto
é um máximo local.
Calcule o valor de
nesse ponto:
Faço as contas passo a passo:
Logo
.]
Passo 3
Examinar a aresta
(segmento de
a
).
Parametrização prática: tomar
,
com
. Substituindo em
:
Isto é um polinômio quadrático em
. Para achar extremos no segmento, calculo
e checo também os extremos nos extremos do intervalo:
Zerando:
Esse valor está em
, então é um candidato sobre essa aresta. Avaliando:
Calculemos com frações:
Também avalio nos endpoints:
Conclusão para essa aresta: máximo local na aresta em
com
, mínimo na aresta em
com
.
Passo 4
Examinar a aresta
(segmento de
a
).
Parametrização conveniente: tomar
,
com
. Substituindo:
Derivada:
que é sempre negativa para
. Portanto
é estritamente decrescente em
. Assim:
- máximo nessa aresta em
(ponto ) com valor ; - mínimo nessa aresta em
(ponto ) com valor
Passo 5
Examinar a aresta
(segmento de
a
).
Parametrização:
,
com
. Substituindo:
Derivada:
Zerando:
que está no intervalo
. Avaliando:
Endpoints:
Portanto nessa aresta, máximo em
(ponto
) com
e mínimo nos extremos com valor
em
.
Passo 6
Reunir todos os candidatos e compará-los para decidir máximo e mínimo globais.
Candidatos e seus valores (computados acima):
- ponto crítico interior
: . - aresta
: ponto interior da aresta : ; endpoints e . - aresta
: extremo ; . - aresta
: ponto ; endpoints e .
Comparando os valores numéricos:
Portanto o maior valor de
em
é
atingido em
. O menor valor é
atingido no vértice
(esse ponto é compartilhado por duas arestas).