Ache o máximo valor da derivada direcional de varphi(x, y, z),
d varphid s=partial varphipartial y cos alpha+partial varphipartial y cos beta+partial varphipartial z cos gamma
sujeita à limitação,
cos ^2 alpha+cos ^2 beta+cos ^2 gamma=1

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo de
dvarphids = partial varphipartial xcosalpha ;+;partial varphipartial ycosbeta;+;partial varphipartial zcosgamma
sujeito à restrição
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
L(cosalpha,cosbeta,cosgamma,lambda) = varphixcosalpha + varphiycosbeta + varphizcosgamma - lambdal(cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma - 1r),
onde escrevemos varphix = partial varphipartial x, etc.

Passo 3

Anulamos as derivadas parciais de L em relação a cada cosseno:
partial Lpartial cosalpha=0 ;Rightarrow; varphix - 2lambdacosalpha = 0 ;Rightarrow; cosalpha = varphix2lambda,
e analogamente
cosbeta = varphiy2lambda, cosgamma = varphiz2lambda

Passo 4

Substituímos essas expressões na restrição
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1 ;Rightarrow; varphix^2 + varphiy^2 + varphiz^24lambda^2 = 1 ;Rightarrow; lambda = pm raizvarphix^2 + varphiy^2 + varphiz^22

Passo 5

Agora calculamos o valor de tfracdvarphids nessas direções:
dvarphids = varphixcosalpha + varphiycosbeta + varphizcosgamma = varphix^2 + varphiy^2 + varphiz^22lambda = pm raizvarphix^2 + varphiy^2 + varphiz^2
O máximo ocorre com o sinal positivo.

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é
boxedraizl(tfracpartialvarphipartial xr)^2 + l(tfracpartialvarphipartial yr)^2 + l(tfracpartialvarphipartial zr)^2,

Exercícios relacionados