Uma das cordas de guitarra com comprimento igual a
e massa igual a 5,00 grama é afinada para a nota Lá ( 240 Hz ) quando esta vibrando em seu modo fundamental (
harmônico).
a)
Encontre a velocidade de propagação da onda nesta corda.
b)
Se a tensão da corda aumentar de
, qual deve ser a nova frequência fundamental?
c)
Calcule as frequências do segundo e terceiro harmônicos e faça um desenho do perfil da corda vibrando nessas frequências. (Use a tensão inicial)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado fala de uma corda de guitarra de comprimento
e massa
afinada no 1º harmônico (
) com frequência fundamental
. O conteúdo é onda estacionária em corda fixa nas duas pontas, em que vale
e a velocidade de propagação satisfaz
onde
. Para resolver vamos usar em (a) a relação
, em (b) o fato de
e em (c)
, descrevendo também o perfil da corda.
Passo 2
Como no fundamental (
) vale
isolamos
:
Substituindo
e
:
Passo 3
Se a tensão aumenta
, temos
. Como
, a nova velocidade é
Logo a nova frequência fundamental será
Passo 4
Para os harmônicos com a tensão inicial, vale
Assim
O perfil da corda em cada harmônico é uma senóide com
meias-oscilações entre as extremidades. Em ASCII, imaginando a corda esticada de
a
:
para
(2º harmônico) há um nó em
:
0 L/2 L
│─∩─│─────∪─────│
0 L/2 L
│─∩─│─────∪─────│
para
(3º harmônico) há nós em
e
:
0 L/3 2L/3 L
│─∩─│─∪─│─∩─│
0 L/3 2L/3 L
│─∩─│─∪─│─∩─│
Resposta
a)
b)
c) ,
e perfis conforme desenho ASCII acima.
b)
c)