(2,5) Uma das cordas de guitarra com comprimento igual a 70,5 cm e massa igual a 5,00 grama é afinada para a nota Lá ( 240 Hz ) quando esta vibrando em seu modo fundamental ( 1^circ harmônico).
a) (0,5) Encontre a velocidade de propagação da onda nesta corda.
b) (1,0) Se a tensão da corda aumentar de 30 %, qual deve ser a nova frequência fundamental?
c) (1,0) Calcule as frequências do segundo e terceiro harmônicos e faça um desenho do perfil da corda vibrando nessas frequências. (Use a tensão inicial)

Passo 1

O enunciado fala de uma corda de guitarra de comprimento L=0,705 m e massa m=5,00 g afinada no 1º harmônico ( ,n=1) com frequência fundamental f1=240 Hz. O conteúdo é onda estacionária em corda fixa nas duas pontas, em que vale
fn = n,v2L
e a velocidade de propagação satisfaz
v = raizTmu,
onde mu=m/L. Para resolver vamos usar em (a) a relação f1=v/(2L), em (b) o fato de vproptoraizT e em (c) fn=n f1, descrevendo também o perfil da corda.

Passo 2

Como no fundamental ( n=1) vale
f1 = v2L,
isolamos v:
v = 2L,f1
Substituindo L=0,705 m e f1=240 Hz:
v = 2 times 0,705 times 240 = 338,4 m/s

Passo 3

Se a tensão aumenta 30%, temos T' = 1,3,T. Como vproptoraizT, a nova velocidade é
v' = raiz1,3,v
Logo a nova frequência fundamental será
f1' = v'2L = raiz1,3,v2L = raiz1,3,f1 approx 1,1402times 240 approx 273,65 Hz

Passo 4

Para os harmônicos com a tensão inicial, vale
fn = n,f1
Assim
f2 = 2times 240 = 480 Hz, f3 = 3times 240 = 720 Hz
O perfil da corda em cada harmônico é uma senóide com n meias-oscilações entre as extremidades. Em ASCII, imaginando a corda esticada de x=0 a x=L:
para n=2 (2º harmônico) há um nó em x=L/2:
0 L/2 L
│─∩─│─────∪─────│
para n=3 (3º harmônico) há nós em x=L/3 e x=2L/3:
0 L/3 2L/3 L
│─∩─│─∪─│─∩─│

Resposta

a) v = 338,4 m/s
b) f1' approx 273,7 Hz
c) f2 = 480 Hz, f3 = 720 Hz e perfis conforme desenho ASCII acima.

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