Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
Questões:
Questões:
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos relativos de \r
usando derivadas, além dos pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Vamos usar a derivada primeira para encontrar os pontos críticos e a derivada segunda para classificar esses pontos e estudar a concavidade da curva.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:\r
Os pontos críticos satisfazem\r
Dividindo ambos os lados por
obtemos\r
cuja solução é\r
Passo 3
Agora calculamos a derivada segunda:\r
Em
:\r
portanto
tem um mínimo relativo em
. Para obter o valor:\r
Em
:\r
logo
tem um máximo relativo em
. O valor é\r
Passo 4
Para achar o ponto de inflexão, resolvemos
:\r
O ponto de inflexão é
. Calculamos\r
Passo 5
O sinal de
determina a concavidade:\r
- Para
, temos , logo a curva é côncava para cima.\r - Para
, temos , logo a curva é côncava para baixo.
Resposta
Mínimo relativo em
. \r
Máximo relativo em . \r
Ponto de inflexão em . \r
A função é côncava para cima em e côncava para baixo em
.
Máximo relativo em
Ponto de inflexão em
A função é côncava para cima em