Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
Questões:
f(x)=-4 x^3+3 x^2+18 x

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos de \r
f(x) = -4x^3 + 3x^2 + 18x \r
usando derivadas, além dos pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Vamos usar a derivada primeira para encontrar os pontos críticos e a derivada segunda para classificar esses pontos e estudar a concavidade da curva.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:\r
f'(x) = ddxl(-4x^3+3x^2+18xr) = -12x^2 + 6x + 18 \r
Os pontos críticos satisfazem\r
-12x^2 + 6x + 18 = 0 \r
Dividindo ambos os lados por -6 obtemos\r
2x^2 - x - 3 = 0, \r
cuja solução é\r
x = 1 pm raiz1 + 244 = 1 pm 54 ;Longrightarrow; x = -1,;x = tfrac32

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda:\r
f''(x) = ddxl(-12x^2 + 6x + 18r) = -24x + 6 \r
Em x = -1:\r
f''(-1) = -24(-1) + 6 = 30 > 0, \r
portanto f tem um mínimo relativo em x=-1. Para obter o valor:\r
f(-1) = -4(-1)^3 + 3(-1)^2 + 18(-1) = 4 + 3 - 18 = -11 \r
Em x = tfrac32:\r
f''l(tfrac32r) = -24cdottfrac32 + 6 = -30 < 0, \r
logo f tem um máximo relativo em x=tfrac32. O valor é\r
fl(tfrac32r) = -4l(tfrac32r)^3 + 3l(tfrac32r)^2 + 18l(tfrac32r) = 814

Passo 4

Para achar o ponto de inflexão, resolvemos f''(x)=0:\r
-24x + 6 = 0 Longrightarrow x = tfrac14 \r
O ponto de inflexão é l(tfrac14,,f(tfrac14)r). Calculamos\r
fl(tfrac14r) = -4l(tfrac14r)^3 + 3l(tfrac14r)^2 + 18l(tfrac14r) = 378

Passo 5

O sinal de f''(x) = -24x + 6 determina a concavidade:\r
  • Para x < tfrac14, temos f''(x)>0, logo a curva é côncava para cima.\r
  • Para x > tfrac14, temos f''(x)<0, logo a curva é côncava para baixo.

Resposta

Mínimo relativo em l(-1,-11r). \r
Máximo relativo em l(tfrac32,tfrac814r). \r
Ponto de inflexão em l(tfrac14,tfrac378r). \r
A função é côncava para cima em (-infty,tfrac14) e côncava para baixo em (tfrac14,infty).

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