Se f, g são as funções abaixo, calcule: f(1), g(1), f^prime(1), g^prime(1).
f(x)=(ln x)(x^2+raiz3 sen(pi x)+2), g(x)=ln (x^2+raiz3 sen(pi x)+2)

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x) = (ln x)l(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r), g(x) = lnl(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r)
e pede os valores de f(1), g(1), f'(1) e g'(1).
O conteúdo aqui é cálculo de valor de função e derivadas, usando regra do produto para f e regra da cadeia para g.

Passo 2

Primeiro avaliamos as funções em x=1.
Temos ln 1 = 0 e sen(picdot1)=0. Então
f(1) = (ln 1)l(1^2 + raiz3cdot0 + 2r) = 0cdot3 = 0
E
g(1) = lnl(1^2 + raiz3cdot0 + 2r) = ln(3)

Passo 3

Agora derivamos f(x) por regra do produto:
f'(x) = l(ln xr)'l(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r) + ln x;l(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r)'
Sabendo que (ln x)' = 1/x e
l(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r)' = 2x + raiz3,picos(pi x),
segue
f'(x) = 1xl(x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2r) + (ln x)l(2x + raiz3,picos(pi x)r)
Em x=1 isso dá
f'(1) = 1cdot3 + 0cdotl(2 + raiz3,picospir) = 3

Passo 4

Para g(x)=lnl(h(x)r) usamos regra da cadeia:
g'(x) = h'(x)h(x),
onde h(x)=x^2 + raiz3,sen(pi x)+2 e h'(x)=2x + raiz3,picos(pi x).
Logo
g'(x) = 2x + raiz3,picos(pi x) x^2 + raiz3,sen(pi x) + 2
Em x=1 vem
g'(1) = 2 + raiz3,picospi1 + 0 + 2 = 2 - raiz3,pi3

Resposta

f(1)=0
g(1)=ln 3
f'(1)=3
g'(1)=2-raiz3,pi3

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