Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real
está no conjunto imagem da função
somente quando a curva de nível de
, correspondente a
, é não vazia.)
8.
.
8.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede (a) o domínio, (b) algumas curvas de nível (ao menos quatro) e (c) o conjunto--imagem. Vamos usar completar quadrado para estudar a forma geométrica das curvas e o valor mínimo de
.
Passo 2
Para todo par
a expressão
está bem definida (polinômio em
).
Logo
Logo
Passo 3
Curva de nível de ordem
é o conjunto
Completando quadrado em
:
logo
Isto mostra que, se
, a curva é vazia; se
, é o ponto
; se
, é um círculo de raio
centrado em
.
Escolhendo quatro valores de :
Escolhendo quatro valores de
Isso já são quatro curvas de nível centradas em
com raios
.
Passo 4
O valor mínimo de
ocorre quando
é zero, isto é em
, e vale
Como para qualquer
existe a curva de nível não vazia e para
não existe, o conjunto--imagem é
Resposta
Domínio:
Conjunto--imagem: ([-4,\infty)].