Para cada uma das funções dadas, determine seu domínio e esboce algumas (ao menos quatro) de suas curvas de nível. Determine também o conjunto-imagem da função (Sugestão. O valor real k está no conjunto imagem da função f somente quando a curva de nível de f, correspondente a z=k, é não vazia.)
8. h(x, y)=x^2+y^2-4 x.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
h(x,y) = x^2 + y^2 - 4x
e pede (a) o domínio, (b) algumas curvas de nível (ao menos quatro) e (c) o conjunto--imagem. Vamos usar completar quadrado para estudar a forma geométrica das curvas e o valor mínimo de h.

Passo 2

Para todo par (x,y)inR^2 a expressão x^2+y^2-4x está bem definida (polinômio em x,y).
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Dom(h)=R^2

Passo 3

Curva de nível de ordem k é o conjunto
(x,y)mid h(x,y)=k =(x,y)mid x^2 -4x + y^2 = k
Completando quadrado em x:
x^2 -4x = (x-2)^2 -4,
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(x-2)^2 + y^2 = k + 4
Isto mostra que, se k+4<0, a curva é vazia; se k+4=0, é o ponto (2,0); se k+4>0, é um círculo de raio raizk+4 centrado em (2,0).
Escolhendo quatro valores de k:
k &= -4: &(x-2)^2 + y^2 &= 0 &&(ponto ((2,0))), k &= -3: &(x-2)^2 + y^2 &= 1 &&(círculo de raio (1)), k &= 0: &(x-2)^2 + y^2 &= 4 &&(círculo de raio (2)), k &= 5: &(x-2)^2 + y^2 &= 9 &&(círculo de raio (3)) ííí
Isso já são quatro curvas de nível centradas em (2,0) com raios 0,1,2,3.

Passo 4

O valor mínimo de h ocorre quando (x-2)^2+y^2 é zero, isto é em (2,0), e vale
h(2,0) = (2-2)^2 + 0^2 -4cdot2 = -4
Como para qualquer k>= -4 existe a curva de nível não vazia e para k < -4 não existe, o conjunto--imagem é
Im(h) = [-4,infty)

Resposta

Domínio:
Conjunto--imagem: ([-4,\infty)].

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