Calcule a derivada das funções abaixo.
  • f(x)=ln (sen x) ;
  • g(x)=e^raizpi x tg(x^2+1);
  • h(x)=sec (3 x)sec (5 x);
  • p(x)=sen(cos (sen x));
  • q(x)=raizx+raizx+raizx.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de cinco funções usando regras de derivação: derivada de logaritmo, regra da cadeia, produto, quociente e funções trigonométricas. Vamos aplicar cada uma sistematicamente.

Passo 2

Para
f(x)=ln(sin x)
usamos a regra da cadeia com u(x)=sin x. Então
f'(x)=u'(x)u(x) =cos xsin x =cot x

Passo 3

Para
g(x)=e^raizpi,x,tanl(x^2+1r)
é um produto u(x)v(x) com
u(x)=e^raizpi,x, u'(x)=raizpi,e^raizpi,x,
v(x)=tanl(x^2+1r), v'(x)=sec^2!(x^2+1)cdot2x
Pelo produto,
g'(x) =u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =e^raizpixl(raizpi,tan(x^2+1)+2x,sec^2(x^2+1)r)

Passo 4

Para
h(x)=sec(3x)sec(5x)
podemos usar a forma
h(x)=sec(3x),cos(5x)
ou o quociente direto. Usando log-derivada,
ln h(x)=lnsec(3x)-lnsec(5x)
h'(x)h(x) =3tan(3x)-5tan(5x),
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h'(x) =sec(3x)sec(5x)l(3tan(3x)-5tan(5x)r)

Passo 5

Para
p(x)=sinl(cos(sin x)r)
temos três aplicações da cadeia. Chamando
u=sin x, v=cos u, w=sin v,
então
p'(x) =cos(v)cdot(-sin u)cdotcos x =-cosl(cos(sin x)r),sin(sin x),cos x

Passo 6

Para
q(x)=raizx+raizx+raizx
definimos
w(x)=raizx, v(x)=raizx+w(x), q(x)=raizx+v(x)
Então
w'(x)=12raizx, v'(x)=1+ w'(x)2raizx+w(x), q'(x)=1+v'(x)2raizx+v(x)
Substituindo
q'(x) =12raizx+raizx+raizx gl[1+1+12raizx2raizx+raizxgr]

Resposta

f'(x)=cot x
g'(x)=e^raizpixl(raizpi,tan(x^2+1)+2x,sec^2(x^2+1)r)
h'(x)=dfracsec(3x)sec(5x)l(3tan(3x)-5tan(5x)r)
p'(x)=-cosl(cos(sin x)r),sin(sin x),cos x
q'(x) =12raizx+raizx+raizx gl[1+1+12raizx2raizx+raizxgr]

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