Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
Ache os máximos e mínimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda.
Ache os máximos e mínimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
a) encontremos os pontos críticos e classifiquemos em máximos ou mínimos relativos usando o teste da derivada segunda (ou o teste da derivada primeira, caso a segunda derivada dê zero);
b) usemos a derivada segunda para achar os pontos de inflexão e, a partir dela, determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
b) usemos a derivada segunda para achar os pontos de inflexão e, a partir dela, determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Passo 2
Calculemos a primeira e a segunda derivada de
:
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
.
Logo
Portanto, os pontos críticos são
.
Passo 4
Aplique o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
- Em
:
logo
é côncava para cima e há mínimo relativo em
.
- Em
:
logo
é côncava para baixo e há máximo relativo em
.
- Em
:
logo
é côncava para cima e há mínimo relativo em
.
Para as ordenadas,
Passo 5
Pontos de inflexão vêm de
:
Esses valores de
trocam o sinal de
. Como as raízes são
e
temos:
temos:
-
para e para , ou seja, concavidade para cima nesses intervalos; -
para , ou seja, concavidade para baixo nesse intervalo.
Resposta
Máximos e mínimos relativos:
Pontos de inflexão:
Concavidade: