Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
Ache os máximos e mínimos relativos das funções dadas, pelo teste da derivada segunda.
f(x)=x^4+43 x^3-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=x^4+43x^3-4x^2,
a) encontremos os pontos críticos e classifiquemos em máximos ou mínimos relativos usando o teste da derivada segunda (ou o teste da derivada primeira, caso a segunda derivada dê zero);
b) usemos a derivada segunda para achar os pontos de inflexão e, a partir dela, determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.

Passo 2

Calculemos a primeira e a segunda derivada de f:
f'(x)=4x^3+4x^2-8x
f''(x)=12x^2+8x-8

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem f'(x)=0.
4x^3+4x^2-8x=4xl(x^2+x-2r)=0
Logo
x=0, x^2+x-2=0implies x=-1pmraiz1+82=1,,-2
Portanto, os pontos críticos são x=-2,,0,,1.

Passo 4

Aplique o teste da derivada segunda em cada ponto crítico:
  • Em x=-2:
f''(-2)=12cdot(-2)^2+8cdot(-2)-8=48-16-8=24>0
logo f é côncava para cima e há mínimo relativo em x=-2.
  • Em x=0:
f''(0)=-8<0
logo f é côncava para baixo e há máximo relativo em x=0.
  • Em x=1:
f''(1)=12+8-8=12>0
logo f é côncava para cima e há mínimo relativo em x=1.
Para as ordenadas,
f(-2)=(-2)^4+tfrac43(-2)^3-4(-2)^2 =16-tfrac323-16=-tfrac323,
f(0)=0, f(1)=1+tfrac43-4=-tfrac53

Passo 5

Pontos de inflexão vêm de f''(x)=0:
12x^2+8x-8=0implies 3x^2+2x-2=0implies x=-2pmraiz4+246=-1pmraiz73
Esses valores de x trocam o sinal de f''. Como as raízes são
x1=-1-raiz73approx-1,215 e
x2=-1+raiz73approx0,549,
temos:
  • f''(x)>0 para x<x1 e para x>x2, ou seja, concavidade para cima nesses intervalos;
  • f''(x)<0 para x1<x<x2, ou seja, concavidade para baixo nesse intervalo.

Resposta

Máximos e mínimos relativos:
mínimos relativos em (-2,,-tfrac323) e (1,,-tfrac53), máximo relativo em (0,0) íá
Pontos de inflexão:
x=-1-raiz73 e x=-1+raiz73
Concavidade:
côncava para cima em l(-infty,tfrac-1-raiz73r) cupl(tfrac-1+raiz73,inftyr), ô
côncava para baixo em l(tfrac-1-raiz73,tfrac-1+raiz73r) ô

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