Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
f(x)=13 x^3-x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
f(x)=tfrac13x^3-x^2+3
usando o teste da derivada segunda (e o teste da derivada primeira quando f''=0), além de obter os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Vamos precisar calcular f'(x) e f''(x), achar pontos críticos e estudar o sinal de f''.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3-x^2+3r) =x^2-2x =x(x-2)
Igualando a zero, os pontos críticos são
x=0 e x=2

Passo 3

Calculamos a segunda derivada e aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
f''(x)=ddx(x^2-2x)=2x-2
Em x=0:
f''(0)=2cdot0-2=-2<0
logo há um máximo relativo em x=0.
Em x=2:
f''(2)=2cdot2-2=2>0
logo há um mínimo relativo em x=2.

Passo 4

Para o ponto de inflexão, resolvemos
f''(x)=2x-2=0 Longrightarrow x=1
O valor da função nesse ponto é
f(1)=tfrac13cdot1^3-1^2+3 =tfrac13-1+3 =tfrac73

Passo 5

A concavidade vem do sinal de f''(x)=2x-2:
Se x<1, então 2x-2<0 e o gráfico é côncavo para baixo.
Se x>1, então 2x-2>0 e o gráfico é côncavo para cima.

Resposta

Máximo relativo em x=0, com f(0)=3.
Mínimo relativo em x=2, com f(2)=tfrac53.
Ponto de inflexão em x=1, com f(1)=tfrac73.
Gráfico côncavo para baixo em (-infty,1) e côncavo para cima em (1,infty).

Exercícios relacionados