Ache os máximos e mínimos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
usando o teste da derivada segunda (e o teste da derivada primeira quando
), além de obter os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Vamos precisar calcular
e
, achar pontos críticos e estudar o sinal de
.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
Igualando a zero, os pontos críticos são
Passo 3
Calculamos a segunda derivada e aplicamos o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
Em
:
logo há um máximo relativo em
.
Em :
Em
logo há um mínimo relativo em
.
Passo 4
Para o ponto de inflexão, resolvemos
O valor da função nesse ponto é
Passo 5
A concavidade vem do sinal de
:
Se , então
e o gráfico é côncavo para baixo.
Se , então
e o gráfico é côncavo para cima.
Se
Se
Resposta
Máximo relativo em
, com
.
Mínimo relativo em , com
.
Ponto de inflexão em , com
.
Gráfico côncavo para baixo em e côncavo para cima em
.
Mínimo relativo em
Ponto de inflexão em
Gráfico côncavo para baixo em