Nos itens a seguir, fazer o que é solicitado:
Achar a área da região R limitadas pelas curvas y+3 x=3 e y+x^2=3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas
y+3x=3
e
y+x^2=3
Esse é um problema de área entre duas curvas, que vamos resolver encontrando os pontos de interseção, identificando qual curva fica acima da outra e montando uma integral definida da diferença das funções.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
3-3x = 3 - x^2
implies -3x = -x^2
implies x^2 - 3x = 0
implies x(x-3)=0
Logo, x=0 ou x=3. Esses são os limites de integração.

Passo 3

Precisamos determinar qual curva está acima no intervalo [0,3]. Para isso, escolhemos um x intermediário, por exemplo x=1:
a reta dá y=3-3cdot1=0 e a parábola dá y=3-1^2=2.
Portanto, no intervalo [0,3] a curva y=3-x^2 (a parábola) fica acima de y=3-3x (a reta).

Passo 4

A área A é dada pela integral da função superior menos a inferior, de x=0 até x=3:
A = integral0^3l[(3 - x^2) - (3 - 3x)r],dx = integral0^3(3x - x^2),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^33x,dx = 3x^22|0^3 = 3cdot92= 272,
integral0^3x^2,dx = x^33|0^3 = 273=9
Assim,
A = 272 - 9 = 27 - 182 = 92

Resposta

A área da região R é 92.

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