Calcular o valor das integrais definidas
Sem usar integrais, determinar o valor de:
A=integral-4^8|x-2| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
A = integral-4^8 |x - 2| , dx
sem usar fórmulas de integração propriamente ditas, apenas interpretando a integral como área sob o gráfico de y = |x-2|. O conteúdo é valor absoluto e cálculo de área de figuras planas.

Passo 2

A função y=|x-2| muda de expressão em x=2. Para x<2 temos |x-2|=2-x e para x>2 temos |x-2|=x-2. Logo dividimos a integral em duas partes:
integral-4^8|x-2|,dx =integral-4^2(2-x),dx+integral2^8(x-2),dx

Passo 3

Na parte de -4 a 2, o gráfico de y=2-x é uma reta que vai de (x,y)=(-4,6) até (2,0). Isso forma um triângulo de base 6 (de -4 a 2) e altura 6. A área é
6cdot 62=18
Portanto
integral-4^2(2-x),dx = 18

Passo 4

Na parte de 2 a 8, o gráfico de y=x-2 é uma reta que vai de (2,0) até (8,6). Também é um triângulo de base 6 e altura 6, com área
6cdot 62=18
Logo
integral2^8(x-2),dx = 18

Passo 5

Somando as duas áreas, obtemos
A = 18 + 18 = 36

Resposta

A = 36

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