Ache o módulo de cada vetor e o ângulo entre cada par de vetores sendo eles A=-4 i+2 j e B=7 i+14 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o módulo de cada vetor e o ângulo entre eles. Estamos trabalhando com vetores no plano cartesiano, e para isso vamos precisar usar fórmulas de módulo de vetor e de produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor A = -4 i + 2 j. O módulo de um vetor V = a i + b j é dado por:
|V| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso para A:
|A| = raiz(-4)^2 + (2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo do vetor B = 7 i + 14 j. Usamos a mesma fórmula:
|B| = raiz7^2 + 14^2 = raiz49 + 196 = raiz245 = 7raiz5

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta entre os vetores A e B, usamos a fórmula do produto escalar:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Primeiro, calculamos o produto escalar:
A cdot B = (-4) cdot 7 + 2 cdot 14 = -28 + 28 = 0
Agora, sabemos que A cdot B = 0, então:
0 = (2raiz5) cdot (7raiz5) cdot cos(theta)
Isso simplifica para:
0 = 70 cdot cos(theta)
Portanto:
cos(theta) = 0 implies theta = 90^circ

Resposta

O módulo de A é 2raiz5, o módulo de B é 7raiz5 e o ângulo entre eles é 90^circ.

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