A equação horária da posição do MHS é dada por: X(t)=XM cos (omega t+varphi), onde XM é a amplitude, omega a frequência angular e varphi a constante de fase. Mostre que as constantes XM e varphi, para um dado MHS, são determinadas pelas condições iniciais X(0) e V(0), ou seja, mostre que: e , onde X(0) e V(0) são, respectivamente, a posição e velocidade no instante t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem a equação da posição do MHS:
X(t) = XM cos(omega t + varphi)
Aqui, é a amplitude, é a frequência angular e é a fase inicial. O que a gente precisa mostrar é como essas constantes e são determinadas pelas condições iniciais, ou seja, pela posição e pela velocidade no instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa X(0) = XM cos(omega cdot 0 + varphi) . É a posição do objeto quando X(0) = XM cos(varphi) . Substituindo na equação da posição:
Então, já temos uma relação entre e com a fase .

Passo 3

Agora, vamos descobrir a expressão para a velocidade V(t) = dX(t)dt . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
V(t) = ddt [ XM cos(omega t + varphi) ]
V(t) = -XM omega sin(omega t + varphi)
V(0) = -XM omega sin(varphi)
Então, a velocidade no instante é:

Passo 4

Agora temos duas equações com e :
Nosso objetivo é encontrar e em termos de e . Para isso, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Primeiro, vamos isolar cos(varphi) = X(0)XM e sin(varphi) = -V(0)XM omega nas duas equações:
( X(0)XM )^2 + ( -V(0)XM omega )^2 = 1
X(0)^2 + ( V(0)omega )^2XM^2 = 1
Sabemos que , então substituindo as expressões acima:

Passo 6

Agora, resolvemos para XM^2 = X(0)^2 + ( V(0)omega )^2 :
XM = raizX(0)^2 + ( V(0)omega )^2
Então, a amplitude é determinada pelas condições iniciais de posição e velocidade.

Passo 7

Para achar tan(varphi) = sin(varphi)cos(varphi) = -V(0)XM omega X(0)XM = -V(0)X(0) omega , vamos usar as expressões de varphi = arctan( -V(0)X(0) omega ) e :
Portanto,

Resposta

As constantes XM = raiz X(0)^2 + ( V(0)omega )^2 e varphi = arctan( -V(0)X(0) omega ) são determinadas pelas condições iniciais e da seguinte forma:

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