A equação horária da posição do MHS é dada por:
, onde
é a amplitude,
a frequência angular e
a constante de fase. Mostre que as constantes
e
, para um dado MHS, são determinadas pelas condições iniciais
e
, ou seja, mostre que: e , onde
e
são, respectivamente, a posição e velocidade no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem a equação da posição do MHS:
Aqui,
é a amplitude,
é a frequência angular e
é a fase inicial. O que a gente precisa mostrar é como essas constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais, ou seja, pela posição
e pela velocidade
no instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. É a posição do objeto quando
. Substituindo
na equação da posição:
Então, já temos uma relação entre
e
com a fase
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a expressão para a velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Então, a velocidade no instante
é:
Passo 4
Agora temos duas equações com
e
:
Nosso objetivo é encontrar
e
em termos de
e
. Para isso, vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Primeiro, vamos isolar
e
nas duas equações:
Sabemos que
, então substituindo as expressões acima:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Então, a amplitude
é determinada pelas condições iniciais de posição e velocidade.
Passo 7
Para achar
, vamos usar as expressões de
e
:
Portanto,
Resposta
As constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais
e
da seguinte forma: