Ache o número de zeros, que satisfazem
, dos seguintes polinômios:
(i)
; (ii)
.
(i)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o número de zeros, que satisfazem $ |z| < 1 $, para dois polinômios:
(i) $ z^{9} - 2 z^{6} + z^{2} - 8 z - 2 $;
(ii) $ z^{4} - 5 z + 1 $.
Para isso, vamos utilizar o Teorema de Rouché, que nos ajuda a determinar quantos zeros um polinômio tem dentro de um certo círculo no plano complexo. Precisamos identificar qual termo do polinômio é dominante dentro do círculo $ |z| < 1 $ e comparar com a soma dos outros termos.
Passo 2
Vamos começar com o polinômio (i): $ P(z) = z^{9} - 2 z^{6} + z^{2} - 8 z - 2 $.
No Teorema de Rouché, dividimos o polinômio em duas partes: $ f(z) $ e $ g(z) $, de forma que $ P(z) = f(z) + g(z) $. Escolhemos $ f(z) $ como o termo que esperamos ser dominante no círculo $ |z| = 1 $.
Passo 3
Para $ |z| = 1 $, calculamos o valor absoluto de cada termo:
- $ |z^{9}| = 1 $
- $ |-2 z^{6}| = 2 $
- $ |z^{2}| = 1 $
- $ |-8 z| = 8 $
- $ |-2| = 2 $
Observamos que o termo $ -8 z $ tem o maior valor absoluto (8). Portanto, escolhemos:
- $ f(z) = -8 z $
- $ g(z) = z^{9} - 2 z^{6} + z^{2} - 2 $
Passo 4
Aplicando o Teorema de Rouché, verificamos se $ |f(z)| > |g(z)| $ para $ |z| = 1 $:
- $ |f(z)| = 8 $
- $ |g(z)| \leq |z^{9}| + |-2 z^{6}| + |z^{2}| + |-2| = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 $
Como $ 8 > 6 $, as condições do Teorema de Rouché são satisfeitas. Isso significa que $ P(z) $ e $ f(z) $ têm o mesmo número de zeros dentro de $ |z| < 1 $.
Passo 5
Sabemos que $ f(z) = -8 z $ tem exatamente 1 zero (em $ z = 0 $) dentro de $ |z| < 1 $.
Portanto, pelo Teorema de Rouché, o polinômio $ P(z) = z^{9} - 2 z^{6} + z^{2} - 8 z - 2 $ também tem 1 zero dentro de $ |z| < 1 $.
Passo 6
Agora, vamos analisar o polinômio (ii): $ Q(z) = z^{4} - 5 z + 1 $.
Novamente, aplicaremos o Teorema de Rouché. Primeiro, vamos identificar o termo dominante no círculo $ |z| = 1 $.
Passo 7
Para $ |z| = 1 $, calculamos o valor absoluto de cada termo:
- $ |z^{4}| = 1 $
- $ |-5 z| = 5 $
- $ |1| = 1 $
Aqui, o termo $ -5 z $ tem o maior valor absoluto (5). Então, escolhemos:
- $ f(z) = -5 z $
- $ g(z) = z^{4} + 1 $
Passo 8
Aplicando o Teorema de Rouché, verificamos se $ |f(z)| > |g(z)| $ para $ |z| = 1 $:
- $ |f(z)| = 5 $
- $ |g(z)| \leq |z^{4}| + |1| = 1 + 1 = 2 $
Como $ 5 > 2 $, as condições do Teorema de Rouché são satisfeitas. Isso significa que $ Q(z) $ e $ f(z) $ têm o mesmo número de zeros dentro de $ |z| < 1 $.
Passo 9
Sabemos que $ f(z) = -5 z $ tem exatamente 1 zero (em $ z = 0 $) dentro de $ |z| < 1 $.
Portanto, pelo Teorema de Rouché, o polinômio $ Q(z) = z^{4} - 5 z + 1 $ também tem 1 zero dentro de $ |z| < 1 $.
Resposta
(i) O polinômio $ z^{9} - 2 z^{6} + z^{2} - 8 z - 2 $ possui 1 zero que satisfaz $ |z| < 1 $.
(ii) O polinômio $ z^{4} - 5 z + 1 $ também possui 1 zero que satisfaz $ |z| < 1 $.