Classifique a singularidade 0 de cada uma das funções:
(i) f(z)=sen(1 / z), (ii) f(z)=cos z-1z^2, (iii) f(z)=sen^2 zz^3, (iv) f(z)= exp (z+1z), (v) f(z)=1(z^8-z),(vi) f(z)=cos zz^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para classificar o tipo de singularidade no ponto 0 para cada uma das funções listadas. Isso faz parte do estudo de funções complexas, mais especificamente de singularidades, onde analisamos o comportamento da função perto de pontos onde ela não é bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de singularidade removível, pólo e singularidade essencial, além de saber como identificar cada um deles usando séries de potências e limites.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira função:
(i) $ f(z) = \operatorname{sen}\left(\frac{1}{z}\right) $
A função seno pode ser expandida em série de Taylor:
f(z) = sen(1z)
Substituindo $ w = \frac{1}{z} $:
sen(w) = sumn=0^infty (-1)^n w^2n+1(2n+1)!
Observamos que há termos com potências negativas de $ z $ sem limite superior, indicando que a série tem infinitos termos com potências negativas. Isso caracteriza uma singularidade essencial.
(ii) $ f(z) = \frac{\cos z - 1}{z^{2}} $
A função cosseno tem a expansão:
w = 1z
Subtraindo 1 e dividindo por $ z^2 $:
sen(1z) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot 1z^2n+1
Aqui, os menores termos de $ n=1 $ dão uma constante, e os termos seguintes têm potências positivas de $ z $. Não há potências negativas após a simplificação, então a singularidade é removível.
(iii) $ f(z) = \frac{\operatorname{sen}^2 z}{z^{3}} $
Primeiro, expandimos $ \operatorname{sen} z $:
z
Elevando ao quadrado:
f(z) = cos z - 1z^2
Isso resulta em uma série onde o menor expoente de $ z $ é $ z^2 $. Dividindo por $ z^3 $:
cos z = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)!
O menor termo resultante terá um expoente negativo (por exemplo, $ z^{-1} $), mas a série não tem um limite inferior para os expoentes negativos. Portanto, a singularidade é essencial.
(iv) $ f(z) = \exp\left(z + \frac{1}{z}\right) $
A função exponencial pode ser expandida como:
z^2
Expandindo $ \left(z + \frac{1}{z}\right)^n $, vemos que haverá termos com potências positivas e negativas de $ z $ sem limite inferior. Isso indica uma singularidade essencial.
(v) $ f(z) = \frac{1}{z^{8} - z} $
Podemos fatorar o denominador:
cos z - 1z^2 = 1z^2 ( sumn=1^infty (-1)^n z^2n(2n)! ) = sumn=1^infty (-1)^n z^2n - 2(2n)!
No ponto $ z=0 $, o denominador se anula e o numerador é 1. O comportamento próximo a 0 é dominado por $ \frac{1}{z} $, já que os outros termos são menores. Portanto, temos uma singularidade do tipo pólo de ordem 1.
(vi) $ f(z) = \frac{\cos z}{z^{4}} $
Expandindo a função cosseno:
n=1
Dividindo por $ z^4 $:
z
Aqui, os termos com potências negativas de $ z $ têm um limite superior (até $ z^{-4} $). Isso indica que a singularidade é um pólo de ordem 4.

Resposta

(i) Singularidade essencial;
(ii) Singularidade removível;
(iii) Singularidade essencial;
(iv) Singularidade essencial;
(v) Pólo de ordem 1;
(vi) Pólo de ordem 4.

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