Determine a ordem do polo de f em a e calcule res (f, a) onde
(i) f(z)=sen zz^4, a=0;

Passo 1

Beleza, então a gente tem esse exercício onde precisa descobrir qual é a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{\sin z}{z^{4}} $ no ponto $ a = 0 $ e também calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A matéria envolvida aqui é Análise Complexa, mais especificamente sobre polos e resíduos de funções complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polo, como identificar a sua ordem e como calcular o resíduo associado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polo. Um polo de uma função é um tipo de singularidade onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito. A ordem do polo indica quão “forte” é essa explosão. Para identificar a ordem do polo em $ a = 0 $, precisamos analisar o comportamento de $ f(z) $ perto desse ponto.

Passo 3

Vamos olhar para a função $ f(z) = \frac{\sin z}{z^{4}} $. Sabemos que $ \sin z $ pode ser expandido em série de Taylor:
f(z) = sin zz^4
Dividindo isso por $ z^{4} $, temos:
sin z
Isso nos mostra que, perto de $ z = 0 $, $ f(z) $ se comporta como $ \frac{1}{z^{3}} $ mais outros termos menos potentes.

Passo 4

Observando a expressão acima, vemos que o termo mais “explosivo” é $ \frac{1}{z^{3}} $. Isso indica que o polo em $ z = 0 $ tem ordem 3, já que é o maior expoente negativo de $ z $ na expansão.

Passo 5

Agora que sabemos que o polo tem ordem 3, vamos calcular o resíduo $ res(f, 0) $. Para polos de ordem $ n $, o resíduo pode ser calculado usando a fórmula:
res(f, 0)
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ n = 3 $, então:
n

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
sin zz = 1 - z^26 + z^4120 - dots
Agora, vamos derivar duas vezes essa expressão:
ddz ( sin zz ) = -z3 + z^330 - dots
d^2dz^2 ( sin zz ) = -13 + z^210 - dots
Ao avaliarmos o limite quando $ z \to 0 $, os termos com $ z $ desaparecem, ficando:
z to 0

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula do resíduo:
res(f, 0) = 12 cdot ( -13 ) = -16

Resposta

A função $ f(z) = \frac{\sin z}{z^{4}} $ tem um polo de ordem 3 em $ a = 0 $ e o resíduo nesse ponto é $ res(f, 0) = -\frac{1}{6} $.

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