Mostre que, se
então a equação
tem
raizes no disco
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se
, então a equação
tem
raízes dentro do disco
. A gente vai usar um conceito da matemática chamado Teorema de Rouché, que é muito útil para contar o número de soluções (raízes) de uma equação dentro de certa região no plano complexo. Vamos precisar entender um pouquinho desse teorema para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
. Nosso objetivo é contar quantas soluções essa equação tem dentro do círculo de raio 1 no plano complexo, ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Rouché. Esse teorema diz que se tivermos duas funções, digamos
e
, que são analíticas dentro e na borda de uma região (no nosso caso, o disco
), e se
na borda dessa região, então
e
têm o mesmo número de zeros dentro dessa região.
Passo 4
Vamos escolher
e
. Queremos verificar se
na borda do disco, ou seja, quando
.
Passo 5
Quando
, temos que
. Por outro lado,
.
Passo 6
Vamos calcular
quando
. Sabemos que, para números complexos,
, onde
é a parte real de
. Como
, o valor máximo de
é 1, então
.
Passo 7
Então, na borda do disco
, temos:
Como
, isso significa que
nessa borda.
Passo 8
Pelo Teorema de Rouché, como
na borda do disco, as funções
e
têm o mesmo número de zeros dentro do disco
.
Passo 9
Sabemos que
tem exatamente
zeros dentro de
, pois é um polinômio de grau
com todos os zeros na origem. Portanto, a equação
também tem
raízes dentro desse disco.
Resposta
Assim, mostramos que, se
, a equação
possui exatamente
raízes no disco
.