Mostre que, se |alpha|>e então a equação e^z=a z^n tem n raizes no disco |z|<1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se |alpha| > e, então a equação e^z = alpha z^n tem n raízes dentro do disco |z| < 1. A gente vai usar um conceito da matemática chamado Teorema de Rouché, que é muito útil para contar o número de soluções (raízes) de uma equação dentro de certa região no plano complexo. Vamos precisar entender um pouquinho desse teorema para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: e^z - alpha z^n = 0. Nosso objetivo é contar quantas soluções essa equação tem dentro do círculo de raio 1 no plano complexo, ou seja, onde |z| < 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Rouché. Esse teorema diz que se tivermos duas funções, digamos f(z) e g(z), que são analíticas dentro e na borda de uma região (no nosso caso, o disco |z| < 1), e se |f(z)| > |g(z)| na borda dessa região, então f(z) e f(z) + g(z) têm o mesmo número de zeros dentro dessa região.

Passo 4

Vamos escolher f(z) = alpha z^n e g(z) = -e^z. Queremos verificar se |f(z)| > |g(z)| na borda do disco, ou seja, quando |z| = 1.

Passo 5

Quando |z| = 1, temos que |f(z)| = |alpha z^n| = |alpha| cdot |z|^n = |alpha| cdot 1^n = |alpha|. Por outro lado, |g(z)| = | -e^z | = |e^z|.

Passo 6

Vamos calcular |e^z| quando |z| = 1. Sabemos que, para números complexos, |e^z| = e^Re(z), onde Re(z) é a parte real de z. Como |z| = 1, o valor máximo de Re(z) é 1, então |e^z| <= e^1 = e.

Passo 7

Então, na borda do disco |z| = 1, temos:
|f(z)| = |alpha| > e >= |e^z| = |g(z)|
Como |alpha| > e, isso significa que |f(z)| > |g(z)| nessa borda.

Passo 8

Pelo Teorema de Rouché, como |f(z)| > |g(z)| na borda do disco, as funções f(z) = alpha z^n e f(z) + g(z) = alpha z^n - e^z têm o mesmo número de zeros dentro do disco |z| < 1.

Passo 9

Sabemos que f(z) = alpha z^n tem exatamente n zeros dentro de |z| < 1, pois é um polinômio de grau n com todos os zeros na origem. Portanto, a equação e^z = alpha z^n também tem n raízes dentro desse disco.

Resposta

Assim, mostramos que, se |alpha| > e, a equação e^z = alpha z^n possui exatamente n raízes no disco |z| < 1.

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