Ache os números críticos da função.
K(z)=4 z^{3}+5 z^{2}-42 z+7

Passo 1

O enunciado pede: “Ache os números críticos da função.” A função dada é K(z)=4 z^{3}+5 z^{2}-42 z+7. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau 3 em z; todos os coeficientes estão explícitos; não há restrição no domínio (polinômios estão definidos para todo z\in\mathbb{R} ou \mathbb{C}). As perguntas implícitas que precisamos responder são: quais valores de z tornam a derivada apropriada zero ou indefinida (isto é, quais são os números críticos)?

Passo 2

Definição útil (explicação didática): um número crítico de uma função é um valor de z onde a derivada da função é 0 ou onde a derivada não está definida. Para polinômios a derivada existe para todo z, portanto, neste caso os números críticos são exatamente as soluções da equação
K'(z)=0.
Explicando a ideia: a derivada mede a inclinação local da função; pontos críticos são onde essa inclinação é zero (extremos locais ou pontos de inflexão horizontal) ou onde a derivada falha em existir.

Passo 3

Vamos calcular a derivada K'(z) usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz: para f(z)=a z^{n}, a derivada é f'(z)=a n z^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\text{derivada de }4 z^{3}\text{ é }4\cdot 3 z^{2}=12 z^{2},é
\text{derivada de }5 z^{2}\text{ é }5\cdot 2 z^{1}=10 z,é
\text{derivada de }-42 z\text{ é }-42,é
\text{derivada de }7\text{ (constante) é }0.é
Portanto,
K'(z)=12 z^{2}+10 z-42.

Passo 4

Agora resolvemos K'(z)=0, ou seja
12 z^{2}+10 z-42=0.
Para simplificar os cálculos dividimos toda a equação por 2 (pois todos os coeficientes são pares), obtendo
6 z^{2}+5 z-21=0.
Isto é uma equação quadrática. Para resolver quadráticas usamos a fórmula quadrática: se a z^{2}+b z+c=0, então
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde o discriminante é D=b^{2}-4ac. O discriminante nos diz quantas e que tipo de raízes temos: se D>0 são duas raízes reais distintas; se D=0 uma raiz real dupla; se D<0 duas raízes complexas conjugadas.

Passo 5

Calculemos o discriminante para a=6, b=5, c=-21:
D=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot 6\cdot(-21)=25+504=529.
Observação: 529=23^{2}, então o discriminante é um quadrado perfeito, logo teremos duas raízes racionais. Aplicando a fórmula:
z=\frac{-5\pm\sqrt{529}}{2\cdot 6}=\frac{-5\pm 23}{12}.
Agora calculamos as duas possibilidades separadamente:
z_{1}=\frac{-5+23}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2},
z_{2}=\frac{-5-23}{12}=\frac{-28}{12}=\frac{-7}{3}.
Mostrei a simplificação das frações passo a passo para que você possa reproduzir sem calculadora.

Passo 6

Verificação e conclusão: como a derivada K'(z)=12 z^{2}+10 z-42 é um polinômio definido para todo z, não existem pontos onde a derivada seja indefinida. Portanto os únicos números críticos são as soluções que encontramos da equação K'(z)=0: \displaystyle z=\frac{3}{2} e \displaystyle z=-\frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle z=\frac{3}{2}
\displaystyle z=-\frac{7}{3}

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