Ache os números críticos da função.
Passo 1
O enunciado pede: “Ache os números críticos da função.” A função dada é
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau
em
; todos os coeficientes estão explícitos; não há restrição no domínio (polinômios estão definidos para todo
ou
). As perguntas implícitas que precisamos responder são: quais valores de
tornam a derivada apropriada zero ou indefinida (isto é, quais são os números críticos)?
Passo 2
Definição útil (explicação didática): um número crítico de uma função é um valor de
onde a derivada da função é
ou onde a derivada não está definida. Para polinômios a derivada existe para todo
, portanto, neste caso os números críticos são exatamente as soluções da equação
Explicando a ideia: a derivada mede a inclinação local da função; pontos críticos são onde essa inclinação é zero (extremos locais ou pontos de inflexão horizontal) ou onde a derivada falha em existir.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz: para
, a derivada é
. Aplicando termo a termo:
Portanto,
Passo 4
Agora resolvemos
, ou seja
Para simplificar os cálculos dividimos toda a equação por
(pois todos os coeficientes são pares), obtendo
Isto é uma equação quadrática. Para resolver quadráticas usamos a fórmula quadrática: se
, então
onde o discriminante é
. O discriminante nos diz quantas e que tipo de raízes temos: se
são duas raízes reais distintas; se
uma raiz real dupla; se
duas raízes complexas conjugadas.
Passo 5
Calculemos o discriminante para
,
,
:
Observação:
, então o discriminante é um quadrado perfeito, logo teremos duas raízes racionais. Aplicando a fórmula:
Agora calculamos as duas possibilidades separadamente:
Mostrei a simplificação das frações passo a passo para que você possa reproduzir sem calculadora.
Passo 6
Verificação e conclusão: como a derivada
é um polinômio definido para todo
, não existem pontos onde a derivada seja indefinida. Portanto os únicos números críticos são as soluções que encontramos da equação
:
e
.