Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por substituição trigonométrica.
\int\left(1-4 t^{2}\right)^{3 / 2} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva da função (1-4 t^{2})^{3/2}, ou seja encontrar
\int (1-4 t^{2})^{3/2}\,dt.
Informações dadas: a integranda é (1-4 t^{2})^{3/2}. Não há limites (é uma integral indefinida). Vamos usar substituição trigonométrica porque a expressão tem a forma 1-(2t)^{2}, isto é, um termo do tipo 1-u^{2}.

Passo 2

Motivação da substituição: quando aparece \sqrt{1-u^{2}} é natural usar u=\sin\theta porque \sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta. Aqui temos 1-4t^{2}=1-(2t)^{2}, então escolhemos
t=\tfrac{1}{2}\sin\theta.
Agora calculamos dt e expressamos tudo em \theta. Diferenciando,
dt=\tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Transformação da expressão (1-4 t^{2})^{3/2} com a substituição t=\tfrac{1}{2}\sin\theta:
1-4t^{2}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta.
Portanto
(1-4t^{2})^{3/2}=(\cos^{2}\theta)^{3/2}=|\cos^{3}\theta|.
Escolhemos o intervalo principal \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (isso corresponde aos t com |2t|\le1), onde \cos\theta\ge0, então |\cos^{3}\theta|=\cos^{3}\theta. Substituindo tudo na integral:
\int (1-4 t^{2})^{3/2}\,dt = \int \cos^{3}\theta\cdot \tfrac{1}{2}\cos\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int \cos^{4}\theta\,d\theta.

Passo 4

Vamos integrar \cos^{4}\theta. Primeiro usamos a identidade de redução de potência
\cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
\cos^{4}\theta=(\cos^{2}\theta)^{2}=\Big(\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}\Big)^{2}=\tfrac{1}{4}\big(1+2\cos(2\theta)+\cos^{2}(2\theta)\big).
Aplicando novamente a redução em \cos^{2}(2\theta):
\cos^{2}(2\theta)=\tfrac{1+\cos(4\theta)}{2}.
Substituindo:
\cos^{4}\theta=\tfrac{1}{4}\Big(1+2\cos(2\theta)+\tfrac{1+\cos(4\theta)}{2}\Big)=\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\tfrac{1}{8}\cos(4\theta).

Passo 5

Agora integrando \tfrac{1}{2}\int \cos^{4}\theta\,d\theta:
\tfrac{1}{2}\int \cos^{4}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int\Big(\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)+\tfrac{1}{8}\cos(4\theta)\Big)\,d\theta.
Multiplicando os fatores:
\tfrac{1}{2}\cos^{4}\theta \longrightarrow \tfrac{3}{16}+\tfrac{1}{4}\cos(2\theta)+\tfrac{1}{16}\cos(4\theta)
e integrando termo a termo:
\int\Big(\tfrac{3}{16}+\tfrac{1}{4}\cos(2\theta)+\tfrac{1}{16}\cos(4\theta)\Big)\,d\theta = \tfrac{3}{16}\theta + \tfrac{1}{8}\sin(2\theta) + \tfrac{1}{64}\sin(4\theta) + C.

Passo 6

Voltamos à variável t. Lembrando que t=\tfrac{1}{2}\sin\theta, temos \theta=\arcsin(2t). Precisamos escrever \sin(2\theta) e \sin(4\theta) em termos de t. Primeiro
\sin\theta=2t,\qquad \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-4t^{2}}.
Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
\sin(2\theta)=2\,(2t)\,\sqrt{1-4t^{2}}=4t\sqrt{1-4t^{2}}.

Passo 7

Para \sin(4\theta) usamos \sin(4\theta)=2\sin(2\theta)\cos(2\theta). Já temos \sin(2\theta); para \cos(2\theta) usamos \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta. Como \sin^{2}\theta=(2t)^{2}=4t^{2},
\cos(2\theta)=1-2\cdot 4t^{2}=1-8t^{2}.
Assim
\sin(4\theta)=2\cdot (4t\sqrt{1-4t^{2}})\cdot (1-8t^{2})=8t\sqrt{1-4t^{2}}\,(1-8t^{2}).

Passo 8

Substituindo \theta=\arcsin(2t), \sin(2\theta)=4t\sqrt{1-4t^{2}} e \sin(4\theta)=8t\sqrt{1-4t^{2}}\,(1-8t^{2}) na primitiva em \theta:
\frac{3}{16}\arcsin(2t) + \frac{1}{8}\big(4t\sqrt{1-4t^{2}}\big) + \frac{1}{64}\big(8t\sqrt{1-4t^{2}}\,(1-8t^{2})\big) + C.
Simplificando os coeficientes:
\frac{3}{16}\arcsin(2t) + \frac{1}{2}t\sqrt{1-4t^{2}} + \frac{1}{8}t\sqrt{1-4t^{2}}\,(1-8t^{2}) + C.
Agrupando os termos com t\sqrt{1-4t^{2}}:
\frac{3}{16}\arcsin(2t) + \Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}(1-8t^{2})\Big)t\sqrt{1-4t^{2}} + C.
Calculando \frac{1}{2}+\frac{1}{8}(1-8t^{2})=\frac{5}{8}-t^{2}, obtemos a forma simplificada
\frac{3}{16}\arcsin(2t) + \frac{5t-8t^{3}}{8}\sqrt{1-4t^{2}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{16}\arcsin(2t)+\frac{5t-8t^{3}}{8}\sqrt{1-4t^{2}}+C

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