Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por substituição trigonométrica.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva da função
, ou seja encontrar
Informações dadas: a integranda é
. Não há limites (é uma integral indefinida). Vamos usar substituição trigonométrica porque a expressão tem a forma
, isto é, um termo do tipo
.
Passo 2
Motivação da substituição: quando aparece
é natural usar
porque
. Aqui temos
, então escolhemos
Agora calculamos
e expressamos tudo em
. Diferenciando,
Passo 3
Transformação da expressão
com a substituição
:
Portanto
Escolhemos o intervalo principal
(isso corresponde aos
com
), onde
, então
. Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Vamos integrar
. Primeiro usamos a identidade de redução de potência
Então
Aplicando novamente a redução em
:
Substituindo:
Passo 5
Agora integrando
:
Multiplicando os fatores:
e integrando termo a termo:
Passo 6
Voltamos à variável
. Lembrando que
, temos
. Precisamos escrever
e
em termos de
. Primeiro
Usando
:
Passo 7
Para
usamos
. Já temos
; para
usamos
. Como
,
Assim
Passo 8
Substituindo
,
e
na primitiva em
:
Simplificando os coeficientes:
Agrupando os termos com
:
Calculando
, obtemos a forma simplificada