Ache os números críticos da função.
Passo 1
Enunciado: "Ache os números críticos da função
".
Informações relevantes fornecidas e que podemos deduzir imediatamente:
Informações relevantes fornecidas e que podemos deduzir imediatamente:
- A função é
. - Trata‑se de uma função polinomial (linear), portanto está definida para todo
. - O objetivo é encontrar os números críticos — ou seja, os valores de
no domínio que satisfazem a definição de número crítico.
Passo 2
O que é um número crítico? Vou explicar direitinho, passo a passo, como se estivéssemos na prova.
Definição (explicada): um número crítico de uma função é qualquer ponto do domínio tal que pelo menos uma das duas coisas acontece:
Definição (explicada): um número crítico de uma função é qualquer ponto
- a derivada existe e é zero em
, isto é, ; ou - a derivada não existe em
.
Em símbolos, os números críticos são osdomínio de tais que ou não existe.
Por que essa definição? Porque a derivada mede a inclinação da reta tangente; quando a inclinação é zero temos máximos/minimos locais possíveis; quando a derivada não existe também pode haver um máximo/minimo (ou cusp, etc.). Na prova, você deve checar os dois casos.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de
. Vou mostrar as regras usadas, bem devagar.
Regra usada (explicação): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de uma constante é . A derivada de
(onde
é constante) é
. Essas são propriedades básicas que você pode usar sem calculadora.
Aplicando ao nosso caso: .
Regra usada (explicação): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de uma constante é
Aplicando ao nosso caso:
- A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é .
Somando, obtemos:
Então a derivada é a constante
para todo
.
Passo 4
Agora usamos a definição de número crítico: temos que ver onde
ou onde
não existe.
- Primeiro caso: resolver
. Como , a equação fica
o que é impossível. Não existe
tal que
. Logo não há pontos do tipo
.
- Segundo caso: verificar onde
não existe. Mas é uma função constante bem definida para todo ; portanto a derivada existe em todos os pontos do domínio. Não há pontos onde a derivada deixe de existir.
Passo 5
Concluímos a partir dos dois itens anteriores: não existe
no domínio que torne
nem existe
onde
seja indefinida. Logo, a função não possui números críticos.
Para fixar a ideia com um exemplo rápido e didático: se tivéssemos , então
e resolvendo
obtemos o número crítico
. Aqui, por ser uma reta com inclinação constante diferente de zero, não ocorre isso.
Para fixar a ideia com um exemplo rápido e didático: se tivéssemos
Resposta
A função não possui números críticos.