Ache os números críticos da função.
g(x)=2 x+5

Passo 1

Enunciado: "Ache os números críticos da função g(x)=2x+5".
Informações relevantes fornecidas e que podemos deduzir imediatamente:
  • A função é g(x)=2x+5.
  • Trata‑se de uma função polinomial (linear), portanto está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é encontrar os números críticos — ou seja, os valores de x no domínio que satisfazem a definição de número crítico.

Passo 2

O que é um número crítico? Vou explicar direitinho, passo a passo, como se estivéssemos na prova.
Definição (explicada): um número crítico de uma função é qualquer ponto x do domínio tal que pelo menos uma das duas coisas acontece:
  1. a derivada existe e é zero em x, isto é, g'(x)=0; ou
  2. a derivada não existe em x.
    Em símbolos, os números críticos são os x\in domínio de g tais que g'(x)=0 ou g'(x) não existe.
    Por que essa definição? Porque a derivada mede a inclinação da reta tangente; quando a inclinação é zero temos máximos/minimos locais possíveis; quando a derivada não existe também pode haver um máximo/minimo (ou cusp, etc.). Na prova, você deve checar os dois casos.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de g. Vou mostrar as regras usadas, bem devagar.
Regra usada (explicação): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. A derivada de uma constante é 0. A derivada de ax (onde a é constante) é a. Essas são propriedades básicas que você pode usar sem calculadora.
Aplicando ao nosso caso: g(x)=2x+5.
  • A derivada de 2x é 2.
  • A derivada de 5 (constante) é 0.
    Somando, obtemos:
g'(x)=2+0=2.
Então a derivada é a constante 2 para todo x.

Passo 4

Agora usamos a definição de número crítico: temos que ver onde g'(x)=0 ou onde g'(x) não existe.
  • Primeiro caso: resolver g'(x)=0. Como g'(x)=2, a equação fica
2=0,
o que é impossível. Não existe x tal que 2=0. Logo não há pontos do tipo g'(x)=0.
  • Segundo caso: verificar onde g'(x) não existe. Mas g'(x)=2 é uma função constante bem definida para todo x\in\mathbb{R}; portanto a derivada existe em todos os pontos do domínio. Não há pontos onde a derivada deixe de existir.

Passo 5

Concluímos a partir dos dois itens anteriores: não existe x no domínio que torne g'(x)=0 nem existe x onde g'(x) seja indefinida. Logo, a função não possui números críticos.
Para fixar a ideia com um exemplo rápido e didático: se tivéssemos h(x)=x^2, então h'(x)=2x e resolvendo 2x=0 obtemos o número crítico x=0. Aqui, por ser uma reta com inclinação constante diferente de zero, não ocorre isso.

Resposta

A função não possui números críticos.

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