Ache o par de raízes, considerando (se necessário) raiz (-1) como i : * 10 pontos x+3 /(x-2)+x-1 /(x+2)=5 /(x^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema pede para encontrar as raízes da equação que envolve frações algébricas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de álgebra, como encontrar denominadores comuns e resolver equações racionais. Também vamos usar a definição de i , onde i = raiz-1 , caso as raízes sejam imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais clara:
x + 3x - 2 + x - 1x + 2 = 5x^2 - 4
Perceba que x^2 - 4 no denominador da fração à direita pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a equação fica:
x + 3x - 2 + x - 1x + 2 = 5(x - 2)(x + 2)

Passo 3

Para somar as frações do lado esquerdo, precisamos de um denominador comum, que é (x - 2)(x + 2) . Vamos ajustar as frações:
(x + 3)(x + 2)(x - 2)(x + 2) + (x - 1)(x - 2)(x + 2)(x - 2) = 5(x - 2)(x + 2)
Agora que os denominadores são iguais, podemos somar os numeradores:
(x + 3)(x + 2) + (x - 1)(x - 2) = 5

Passo 4

Vamos expandir os produtos:
(x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6
(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2
Substituindo na equação:
x^2 + 5x + 6 + x^2 - 3x + 2 = 5
Somando os termos semelhantes:
2x^2 + 2x + 8 = 5

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
2x^2 + 2x + 8 - 5 = 0 implies 2x^2 + 2x + 3 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x^2 + x + 32 = 0

Passo 6

Para resolver a equação quadrática x^2 + x + 32 = 0 , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 1 , e c = 32 .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 times 1 times 32 = 1 - 6 = -5
Como De<a é negativo, as raízes são imaginárias.

Passo 8

Aplicando a fórmula com De<a = -5 :
x = -1 pm raiz-52 times 1 = -1 pm raiz5i2

Resposta

As raízes da equação são:
x = -1 + raiz5i2 e x = -1 - raiz5i2

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