Ache as raízes, considerando (se necessário) que raiz (-1)=i: * x+2 /(x-1)+3 /(x+1)=5 /(x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A questão pede para achar as raízes da seguinte expressão:
x+2x-1 + 3x+1 = 5x^2-1
Estamos lidando com equações racionais, que envolvem frações algébricas. Para resolver, vamos precisar simplificar as frações e encontrar o valor de x que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que x^2 - 1 no denominador da direita pode ser fatorado. Sabemos que:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, a equação fica:
x+2x-1 + 3x+1 = 5(x-1)(x+1)

Passo 3

Para somar as frações da esquerda, precisamos de um denominador comum. Nesse caso, o denominador comum é (x - 1)(x + 1) . Vamos reescrever as frações:
x+2x-1 = (x+2)(x+1)(x-1)(x+1)
3x+1 = 3(x-1)(x-1)(x+1)
Agora, a equação fica:
(x+2)(x+1) + 3(x-1)(x-1)(x+1) = 5(x-1)(x+1)

Passo 4

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
(x+2)(x+1) + 3(x-1) = 5
Vamos expandir e simplificar o lado esquerdo:
(x+2)(x+1) = x(x) + x(1) + 2(x) + 2(1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2
3(x-1) = 3x - 3
Então:
x^2 + 3x + 2 + 3x - 3 = 5
x^2 + 6x - 1 = 5

Passo 5

Agora, vamos levar todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
x^2 + 6x - 1 - 5 = 0
x^2 + 6x - 6 = 0

Passo 6

Agora temos uma equação quadrática:
x^2 + 6x - 6 = 0
Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 6 , e c = -6 .

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula:
x = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1
x = -6 pm raiz36 + 242
x = -6 pm raiz602

Passo 8

Simplificando a raiz quadrada:
raiz60 = raiz4 cdot 15 = 2raiz15
Então:
x = -6 pm 2raiz152
Podemos dividir todos os termos por 2:
x = -3 pm raiz15

Passo 9

Portanto, as raízes da equação são:
x = -3 + raiz15 e x = -3 - raiz15

Resposta

As raízes da equação são x = -3 + raiz15 e x = -3 - raiz15 .

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