Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas: lim x 2 f(x)=-infty, lim x infty f(x)=infty, lim x -infty f(x)=3, lim x -3^+ f(x)=infty, lim x -3^- f(x)=-infty

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função f que atenda a várias condições de limites. Isso envolve entender como a função se comporta quando x se aproxima de certos valores ou vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais e assinaturas de limites, que nos ajudam a identificar assíntotas verticais e horizontais, além do comportamento da função em diferentes regiões do gráfico.

Passo 2

Vamos analisar a primeira condição: limx 2 f(x) = -infty . Isso significa que quando x se aproxima de 2, a função desce para o infinito negativo. Esse comportamento sugere que há uma assíntota vertical em x = 2 , e a função está caindo para baixo dessa assíntota quando se aproxima de 2.

Passo 3

A segunda condição é limx infty f(x) = infty . Isso indica que, conforme x cresce sem limite, o valor da função também cresce sem limite positivo. Esse comportamento é típico de funções racionais onde o grau do numerador é maior que ou igual ao do denominador, resultando em uma assíntota oblíqua ou horizontal no infinito positivo.

Passo 4

A terceira condição é limx -infty f(x) = 3 . Aqui, quando x diminui sem limite, a função se aproxima de 3. Isso sugere que existe uma assíntota horizontal em y = 3 para valores muito negativos de x .

Passo 5

A quarta e quinta condições são limx -3^+ f(x) = infty e limx -3^- f(x) = -infty . Isso significa que, quando x se aproxima de -3 pela direita, a função vai para o infinito positivo, e pela esquerda, vai para o infinito negativo. Isso indica outra assíntota vertical em x = -3 , com comportamentos opostos em cada lado.

Passo 6

Com base nessas informações, podemos pensar em uma função racional que tenha assíntotas verticais em x = 2 e x = -3 , e uma assíntota horizontal em y = 3 . Uma forma geral para essa função seria:
f(x) = a(x - h)(x - 2)(x + 3) + 3
Onde a e h são constantes que ajustaremos para que a função atenda todas as condições dadas.

Passo 7

Para simplificar, podemos escolher h = 0 e a = 1 . Assim, a função fica:
f(x) = x(x - 2)(x + 3) + 3
Essa função possui assíntotas verticais em x = 2 e x = -3 , e uma assíntota horizontal em y = 3 , conforme necessário.

Passo 8

Agora, vamos verificar se essa função satisfaz todas as condições dadas:
  1. Quando x se aproxima de 2:
limx 2 f(x) = -infty
De fato, ao substituir x por valores próximos a 2, o denominador se aproxima de 0 e a função tende a -infty .
  1. Quando x vai para infty :
limx infty f(x) = infty
Conforme x cresce, a função aumenta sem limite.
  1. Quando x vai para -infty :
limx -infty f(x) = 3
A função se aproxima da assíntota horizontal y = 3 .
  1. Quando x se aproxima de -3 pela direita:
limx -3^+ f(x) = infty
A função tende a infty ao se aproximar de -3 pela direita.
  1. Quando x se aproxima de -3 pela esquerda:
limx -3^- f(x) = -infty
A função tende a -infty ao se aproximar de -3 pela esquerda.
Todas as condições estão atendidas por essa função.

Resposta

Um exemplo de função que satisfaz todas as condições dadas é:
f(x) = x(x - 2)(x + 3) + 3
O gráfico dessa função possui assíntotas verticais em x = 2 e x = -3 , uma assíntota horizontal em y = 3 , e se comporta conforme as condições de limite especificadas.

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