Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico de uma função
que atenda a várias condições de limites. Isso envolve entender como a função se comporta quando
se aproxima de certos valores ou vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais e assinaturas de limites, que nos ajudam a identificar assíntotas verticais e horizontais, além do comportamento da função em diferentes regiões do gráfico.
Passo 2
Vamos analisar a primeira condição:
. Isso significa que quando
se aproxima de 2, a função desce para o infinito negativo. Esse comportamento sugere que há uma assíntota vertical em
, e a função está caindo para baixo dessa assíntota quando se aproxima de 2.
Passo 3
A segunda condição é
. Isso indica que, conforme
cresce sem limite, o valor da função também cresce sem limite positivo. Esse comportamento é típico de funções racionais onde o grau do numerador é maior que ou igual ao do denominador, resultando em uma assíntota oblíqua ou horizontal no infinito positivo.
Passo 4
A terceira condição é
. Aqui, quando
diminui sem limite, a função se aproxima de 3. Isso sugere que existe uma assíntota horizontal em
para valores muito negativos de
.
Passo 5
A quarta e quinta condições são
e
. Isso significa que, quando
se aproxima de -3 pela direita, a função vai para o infinito positivo, e pela esquerda, vai para o infinito negativo. Isso indica outra assíntota vertical em
, com comportamentos opostos em cada lado.
Passo 6
Com base nessas informações, podemos pensar em uma função racional que tenha assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Uma forma geral para essa função seria:
Onde
e
são constantes que ajustaremos para que a função atenda todas as condições dadas.
Passo 7
Para simplificar, podemos escolher
e
. Assim, a função fica:
Essa função possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
, conforme necessário.
Passo 8
Agora, vamos verificar se essa função satisfaz todas as condições dadas:
- Quando
se aproxima de 2:
De fato, ao substituir
por valores próximos a 2, o denominador se aproxima de 0 e a função tende a
.
- Quando
vai para :
Conforme
cresce, a função aumenta sem limite.
- Quando
vai para :
A função se aproxima da assíntota horizontal
.
- Quando
se aproxima de -3 pela direita:
A função tende a
ao se aproximar de -3 pela direita.
- Quando
se aproxima de -3 pela esquerda:
A função tende a
ao se aproximar de -3 pela esquerda.
Todas as condições estão atendidas por essa função.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz todas as condições dadas é:
O gráfico dessa função possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e se comporta conforme as condições de limite especificadas.