Resolva a inequação e dê o intervalo: *
Passo 1
Então, a gente tem uma inequação para resolver:
. Isso é uma inequação racional, que envolve frações com polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal, e então determinar em quais intervalos a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar. O numerador é
. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então, o numerador fatorado fica:
O denominador é
, que é uma diferença de quadrados. Isso pode ser fatorado assim:
Passo 3
Agora, identificamos os pontos críticos, que são os valores de
que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
Então, os pontos críticos são
,
e
. Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos que vamos analisar.
Passo 4
Vamos agora analisar o sinal da expressão
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
Vamos escolher um número de cada intervalo e verificar o sinal da expressão.
Passo 5
- Para
, por exemplo :
Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
- Para
, por exemplo :
A expressão é negativa aqui.
- Para
, por exemplo :
A expressão volta a ser positiva.
- Para
, por exemplo :
A expressão é positiva nesse intervalo também.
Passo 6
A inequação pede onde a expressão é menor ou igual a zero, ou seja, onde é negativa ou igual a zero. Observamos que isso acontece no intervalo
. Além disso, verificamos os pontos onde a expressão é igual a zero, que são
. Porém,
e
tornam o denominador zero, o que não é permitido, então esses valores não estão no intervalo.
Resposta
A solução da inequação é
.