Resolva a inequação e dê o intervalo: *
x^2-4 x+3 /(x^2-9) <= 0

Passo 1

Então, a gente tem uma inequação para resolver: x^2-4x+3x^2-9 <= 0. Isso é uma inequação racional, que envolve frações com polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, encontrar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal, e então determinar em quais intervalos a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar. O numerador é x^2 - 4x + 3. Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então, o numerador fatorado fica:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
O denominador é x^2 - 9, que é uma diferença de quadrados. Isso pode ser fatorado assim:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 3

Agora, identificamos os pontos críticos, que são os valores de x que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
x + 3 = 0 Rightarrow x = -3
Então, os pontos críticos são x = -3, x = 1 e x = 3. Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos que vamos analisar.

Passo 4

Vamos agora analisar o sinal da expressão (x - 1)(x - 3)(x - 3)(x + 3) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. x < -3
  2. -3 < x < 1
  3. 1 < x < 3
  4. x > 3
Vamos escolher um número de cada intervalo e verificar o sinal da expressão.

Passo 5

  1. Para x < -3, por exemplo x = -4:
(-4 - 1)(-4 - 3)(-4 - 3)(-4 + 3) = (-5)(-7)(-7)(-1) = 357 > 0
Então, a expressão é positiva nesse intervalo.
  1. Para -3 < x < 1, por exemplo x = 0:
(0 - 1)(0 - 3)(0 - 3)(0 + 3) = (-1)(-3)(-3)(3) = 3-9 < 0
A expressão é negativa aqui.
  1. Para 1 < x < 3, por exemplo x = 2:
(2 - 1)(2 - 3)(2 - 3)(2 + 3) = (1)(-1)(-1)(5) = -1-5 > 0
A expressão volta a ser positiva.
  1. Para x > 3, por exemplo x = 4:
(4 - 1)(4 - 3)(4 - 3)(4 + 3) = (3)(1)(1)(7) = 37 > 0
A expressão é positiva nesse intervalo também.

Passo 6

A inequação pede onde a expressão é menor ou igual a zero, ou seja, onde é negativa ou igual a zero. Observamos que isso acontece no intervalo -3 < x < 1. Além disso, verificamos os pontos onde a expressão é igual a zero, que são x = 1. Porém, x = -3 e x = 3 tornam o denominador zero, o que não é permitido, então esses valores não estão no intervalo.

Resposta

A solução da inequação é -3 < x <= 1 .

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