Ache partial wpartial r e partial wpartial s se w=e^t v, com t=r+s, v=r cdot s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial wpartial r e partial wpartial s da função w = e^tv, onde t = r + s e v = rcdot s. Vamos usar regra da cadeia e produto.

Passo 2

Primeiro, escrevemos w explicitamente em função de r e s:
w = e^(r + s)(r s)
Aqui o expoente é E = (r+s)rs.

Passo 3

Para calcular partial wpartial r, aplicamos a regra da cadeia:
partial wpartial r = e^E cdot partial Epartial r = w cdot partialpartial rl[(r+s) r sr]
Em E = t,v temos t = r+s e v = rs. Derivando:
partial Epartial r = partial tpartial r,v + t,partial vpartial r = 1cdot(rs) + (r+s)cdot s = rs + s(r+s) = 2rs + s^2
Logo,
partial wpartial r = w,(2rs + s^2)

Passo 4

Para calcular partial wpartial s, fazemos análogo:
partial wpartial s = w cdot partialpartial sl[(r+s) r sr]
Derivando o expoente em relação a s:
partial Epartial s = partial tpartial s,v + t,partial vpartial s = 1cdot(rs) + (r+s)cdot r = rs + r(r+s) = r^2 + 2rs
Assim,
partial wpartial s = w,(r^2 + 2rs)

Resposta

partial wpartial r = e^(r+s)rs,(2rs + s^2)epartial wpartial s = e^(r+s)rs,(r^2 + 2rs)

Exercícios relacionados