Expresse a seguinte integral como um limite de somas. Não calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar a integral
como um limite de somas. Isso envolve entender o conceito de somas de Riemann, que é uma forma de aproximar a área sob uma curva usando somas de retângulos. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo de integração em partes menores, calcular a altura de cada retângulo e somar todas essas áreas, tomando o limite conforme o número de retângulos aumenta infinitamente.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, chamado de
, é dado por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função
. Vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo, conhecidos como pontos de amostragem. O
-ésimo ponto de amostragem é:
onde
.
Passo 4
Em seguida, calculamos o valor da função
em cada ponto de amostragem
:
Passo 5
Agora, multiplicamos cada valor da função pelo tamanho do subintervalo
para obter a área de cada retângulo:
Passo 6
Finalmente, somamos todas essas áreas e tomamos o limite conforme
tende ao infinito para obter a integral original: