Calcule as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=x^2 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função f(x, y) = x^2 ln(x^2 + y^2). O conteúdo envolve derivadas parciais, e vamos usar regras de derivação como produto e cadeia para chegar nas expressões.

Passo 2

Para computar partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x^2 cdot ln(x^2+y^2). Se definirmos u(x) = x^2 e v(x) = ln(x^2+y^2), temos ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v'. Note que u' = 2x e, pela regra da cadeia, v' = 1x^2+y^2 cdot 2x.
Calculando esses termos, obtemos
partial fpartial x = 2x ln(x^2+y^2) + x^2 cdot 2xx^2+y^2 = 2x ln(x^2+y^2) + 2x^3x^2+y^2

Passo 3

Para computar partial fpartial y, tratamos x como constante. A derivada de ln(x^2+y^2) em relação a y é dada pela regra da cadeia: ddy[ln(x^2+y^2)] = 1x^2+y^2 cdot 2y.
Assim,
partial fpartial y = x^2 cdot 2yx^2+y^2 = 2x^2yx^2+y^2

Resposta

partial fpartial x = 2x ln(x^2+y^2) + 2x^3x^2+y^2
partial fpartial y = 2x^2yx^2+y^2

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