Calcule as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função $ f(x, y) = \ln \frac{\sqrt{x+y}}{x-y} $. A matéria aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar utilizar as regras de derivação de funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
E como
, podemos reescrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais primeiras de $ f $ são:
e