Calcule as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=ln raizx+yx-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais primeiras da função $ f(x, y) = \ln \frac{\sqrt{x+y}}{x-y} $. A matéria aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar utilizar as regras de derivação de funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
f(x, y) = ln ( raizx+yx-y ) = ln(raizx+y) - ln(x-y)
E como raizx+y = (x+y)^1/2, podemos reescrever:
f(x, y) = 12 ln(x+y) - ln(x-y)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a x, ou seja, partial fpartial x.
Derivando 12 ln(x+y) em relação a x:
partialpartial x ( 12 ln(x+y) ) = 12 cdot 1x+y cdot partialpartial x(x+y) = 12(x+y) cdot 1 = 12(x+y)
Derivando -ln(x-y) em relação a x:
partialpartial x ( -ln(x-y) ) = -1x-y cdot partialpartial x(x-y) = -1x-y cdot 1 = -1x-y
Então, juntando tudo:
partial fpartial x = 12(x+y) - 1x-y

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y, ou seja, partial fpartial y.
Derivando 12 ln(x+y) em relação a y:
partialpartial y ( 12 ln(x+y) ) = 12 cdot 1x+y cdot partialpartial y(x+y) = 12(x+y) cdot 1 = 12(x+y)
Derivando -ln(x-y) em relação a y:
partialpartial y ( -ln(x-y) ) = -1x-y cdot partialpartial y(x-y) = -1x-y cdot (-1) = 1x-y
Então, juntando tudo:
partial fpartial y = 12(x+y) + 1x-y

Resposta

As derivadas parciais primeiras de $ f $ são:
f
e
partial fpartial x = 12(x+y) - 1x-y

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