Ache o polinômio característico, os subespaços próprios de T: R^n t o R^n, definido por T(X)=A X, forall X in R^n, nos seguintes caso: (Analise também se T é diagonalizável.)
[
A=\left( cc 1 & 1 1 & 1 \right), \quad A=\left( ccc 2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2 \right), \quad C=\left( cccc 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & 4 \right) .

Passo 1

O enunciado pede para, dada a transformação linear T(X)=AX, calcular o polinômio característico de cada matriz, encontrar seus subespaços próprios (autovalores e auto­vetores) e dizer se T é diagonalizável. Vamos usar definições de determinante para achar o polinômio p(lambda)=det(A-lambda I), depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada autovalor.

Passo 2

Para A=1&11&1 calculamos
det(A-lambda I) =det1-lambda&11&1-lambda =(1-lambda)^2-1 =lambda(lambda-2)
Logo os autovalores são lambda1=0 e lambda2=2.

Passo 3

Para cada autovalor de A:
  • lambda=0: resolvendo A x=0 obtemos x+y=0, ou seja autoespaço : resolvendo E0=(x,-x):xin R=span(1,-1)n- (lambda=2 (A-2I)x=0, logo
    Como temos 2 autovalores distintos e cada um gera um autoespaço de dimensão 1 somando 2 dimensões, -x+y=0 é diagonalizável.

Passo 4

Para A=2&-2&30&3&-20&-1&2 calculamos
det(A-lambda I) =(2-lambda)det3-lambda&-2-1&2-lambda =(2-lambda)l((3-lambda)(2-lambda)-2r) =(2-lambda)(lambda^2-5lambda+4) =(2-lambda)(lambda-1)(lambda-4)
Autovalores: 1,2,4, todos distintos.

Passo 5

Para cada autovalor de A:
  • lambda=2: de (A-2I)x=0 vem autoespaço
  • E2=span(1,0,0): de lambda=1 vem
  • (A-I)x=0: de E1=span(-1,1,1) vem
    São 3 autovalores distintos e cada um gera dimensão 1, total 3, logo lambda=4 é diagonalizável.

Passo 6

Para C=2&1&0&00&2&0&00&0&1&10&0&-2&4 notamos blocos 2×2 e calculamos
det(C-lambda I) =(2-lambda)^2det1-lambda&1-2&4-lambda =(2-lambda)^2l((1-lambda)(4-lambda)+2r) =(2-lambda)^2(lambda^2-5lambda+6) =(2-lambda)^2(lambda-2)(lambda-3) =(lambda-2)^3(lambda-3)
Autovalores: 2 (mult. alg. 3) e 3 (mult. alg. 1).

Passo 7

Para cada autovalor de C:
  • lambda=2: resolvendo (C-2I)x=0 nos dois blocos vem x2=0, x4=x3 e x1,x3 livres. Autoespaço de dimensão 2 com base, por exemplo, (1,0,0,0) e (0,0,1,1). Como dim E2=2<3, não há base de 3 auto-vetores para lambda=2.\n- lambda=3: de (C-3I)x=0 vem x1=x2=0, x4=2x3, autoespaço unidimensional gerado por (0,0,1,2).
    Portanto não conseguimos 4 auto-vetores independentes, logo T não é diagonalizável.

Resposta

Para A₂ₓ₂: p(λ)=λ(λ−2), E₀=span{(1,−1)}, E₂=span{(1,1)}, diagonalizável.
Para A₃ₓ₃: p(λ)=(λ−1)(λ−2)(λ−4), E₁=span{(−1,1,1)}, E₂=span{(1,0,0)}, E₄=span{(7,−4,2)}, diagonalizável.
Para C₄ₓ₄: p(λ)=(λ−2)³(λ−3), E₂=span{(1,0,0,0),(0,0,1,1)}, E₃=span{(0,0,1,2)}, não diagonalizável.

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