O enunciado pede para, dada a transformação linear , calcular o polinômio característico de cada matriz, encontrar seus subespaços próprios (autovalores e autovetores) e dizer se é diagonalizável. Vamos usar definições de determinante para achar o polinômio , depois resolver para cada autovalor.
Passo 2
Para calculamos
Logo os autovalores são e .
Passo 3
Para cada autovalor de :
: resolvendo obtemos , ou seja autoespaço : resolvendo dá , logo
Como temos 2 autovalores distintos e cada um gera um autoespaço de dimensão 1 somando 2 dimensões, é diagonalizável.
lambda=2: resolvendo (C-2I)x=0 nos dois blocos vem x2=0, x4=x3 e x1,x3 livres. Autoespaço de dimensão 2 com base, por exemplo, (1,0,0,0) e (0,0,1,1). Como dim E2=2<3, não há base de 3 auto-vetores para lambda=2.\n- lambda=3: de (C-3I)x=0 vem x1=x2=0, x4=2x3, autoespaço unidimensional gerado por (0,0,1,2).
Portanto não conseguimos 4 auto-vetores independentes, logo T não é diagonalizável.
Resposta
Para A₂ₓ₂: p(λ)=λ(λ−2), E₀=span{(1,−1)}, E₂=span{(1,1)}, diagonalizável.
Para A₃ₓ₃: p(λ)=(λ−1)(λ−2)(λ−4), E₁=span{(−1,1,1)}, E₂=span{(1,0,0)}, E₄=span{(7,−4,2)}, diagonalizável.
Para C₄ₓ₄: p(λ)=(λ−2)³(λ−3), E₂=span{(1,0,0,0),(0,0,1,1)}, E₃=span{(0,0,1,2)}, não diagonalizável.