Estude a posição relativa de r e s :
lx-y-z=2 x+y-z=0 e r2 x-3 y+z=5 x+y-2 z=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas retas em R^3 definidas como interseções de planos. A missão é estudar a posição relativa delas — ou seja, verificar se são paralelas, coincidentes, reversas (reversas significa cruzadas sem interseção) ou se se intersectam. Para isso, vamos achar, para cada reta, um ponto e um vetor diretor para depois comparar vetores e pontos.

Passo 2

Resolvendo a reta r:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x - y - z) - (x + y - z) = 2 - 0
Logo:
-2y = 2 y = -1
Substituindo y=-1 em x + y - z = 0:
x -1 - z = 0 x = z +1
Definindo z = t, obtemos a forma paramétrica de r:
(x,y,z) = (1,-1,0) + t,(1,0,1)
Aqui, o ponto P0=(1,-1,0) pertence a r e o vetor diretor é a = (1,0,1).

Passo 3

Resolvendo a reta s:
Da segunda equação x + y - 2z =0 temos x = 2z - y. Substituindo em 2x - 3y + z = 5:
2(2z - y) - 3y + z = 5 4z -2y -3y + z = 5 5z -5y = 5 z - y = 1 y = z - 1
Então x = 2z - (z-1) = z +1. Com z = t, temos:
(x,y,z) = (1,-1,0) + t,(1,1,1)
Portanto, Q0=(1,-1,0) pertence a s e o vetor diretor é b = (1,1,1).

Passo 4

Comparando vetores diretores: a = (1,0,1) e b = (1,1,1) não são múltiplos um do outro (não existe lambda tal que a = lambda, b). Logo, r e s não são paralelas nem coincidentes.

Passo 5

Verificando interseção: notamos que ambos os parâmetros zero geram o mesmo ponto (1,-1,0). Ou seja, P0 = Q0 = (1,-1,0) está em ambas as retas. Como os vetores diretores são diferentes, as retas se cruzam num único ponto.

Resposta

As retas r e s se intersectam no ponto (1,-1,0), portanto são concorrentes.

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