Obtenha a intersecção da reta r com o plano pi :
r: x-3=y=z+12 e pi:(x, y, z)=(0,0,0)+lambda(1,2,0)+mu(0,-1,3)

Passo 1

Neste exercício vamos achar a interseção entre uma reta e um plano. O conteúdo é geometria analítica no espaço e, para isso, precisaremos expressar as equações paramétricas da reta e do plano e depois resolver um sistema para encontrar o ponto comum.

Passo 2

Parametrizamos a reta r escrita em forma simétrica x-3=y=tfracz+12. Definindo o parâmetro t, temos:
[ r:\quad(x,y,z)=(3+t,,t,,-1+2t). ]

Passo 3

Parametrizamos o plano pi dado por (x,y,z)=(0,0,0)+lambda(1,2,0)+mu(0,-1,3), obtendo:
[ \pi:\quad(x,y,z)=(\lambda,,2\lambda-\mu,,3\mu). ]

Passo 4

Para encontrar a interseção, igualamos as duas parametrizações coordenada a coordenada, gerando o sistema:
[ 3+t=lambda, t=2lambda-mu, -1+2t=3mu ]

Passo 5

Resolvemos esse sistema: da primeira equação vem lambda=3+t. Substituindo na segunda obtém-se mu=6+t. Na terceira equação temos
[ -1+2t=3(6+t) ],
que leva a t=-19. Consequentemente lambda=-16 e mu=-13.

Passo 6

Substituindo t=-19 na parametrização da reta, o ponto de interseção é:
[ (x,y,z)=(3-19,,-19,,-1+2(-19))=(-16,,-19,,-39). ]

Resposta

(-16,-19,-39)

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