Mostre que r e s são concorrentes, ache seu ponto de intersecção e determine uma equação geral para o plano que contém r e s :
r: x-32=y-62=z-1 e s: x2=y8=z+48

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar que as retas r e s são concorrentes, achar seu ponto de interseção e determinar a equação geral do plano que as contém. Para isso vamos usar conversão de forma simétrica para paramétrica, resolver um sistema para encontrar o ponto e depois usar produto vetorial para obter o plano.

Passo 2

Convertemos as retas para forma paramétrica. Para r, definimos t = x-32 = y-62 = z-1, então
x = 2t+3, y = 2t+6, z = t+1
Para s, com u = x2 = y8 = z+48, obtemos
x = 2u, y = 8u, z = 8u -4

Passo 3

Para mostrar concorrência, igualamos as parametrizações:
2t+3 = 2u, 2t+6 = 8u, t+1 = 8u-4
Da primeira vem u = t + 1,5. Substituindo na segunda achamos t = -1 e então u = 0,5. A terceira confirma a solução. O ponto de interseção é
r(-1) = (2cdot(-1)+3,,2cdot(-1)+6,,-1+1) = (1,4,0)

Passo 4

O plano que contém as retas é gerado pelos vetores diretores vec v = (2,2,1) de r e vec w = (2,8,8) de s, passando por P(1,4,0). Calculamos o normal via produto vetorial:
vec n = vec v times vec w = i & j & k 2 & 2 & 1 2 & 8 & 8 = (8,,-14,,12),
podendo simplificar para (4,-7,6).

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto P, a equação geral do plano é
4(x-1)-7(y-4)+6(z-0)=0,
que se expande para
4x - 7y + 6z + 24 = 0

Resposta

As retas são concorrentes no ponto (1,4,0). A equação geral do plano que as contém é 4x - 7y + 6z + 24 = 0.

Exercícios relacionados