Mostre que e são concorrentes, ache seu ponto de intersecção e determine uma equação geral para o plano que contém e : e
Passo 1
Neste exercício vamos mostrar que as retas e são concorrentes, achar seu ponto de interseção e determinar a equação geral do plano que as contém. Para isso vamos usar conversão de forma simétrica para paramétrica, resolver um sistema para encontrar o ponto e depois usar produto vetorial para obter o plano.
Passo 2
Convertemos as retas para forma paramétrica. Para , definimos , então
Para , com , obtemos
Passo 3
Para mostrar concorrência, igualamos as parametrizações:
Da primeira vem . Substituindo na segunda achamos e então . A terceira confirma a solução. O ponto de interseção é
Passo 4
O plano que contém as retas é gerado pelos vetores diretores de e de , passando por . Calculamos o normal via produto vetorial:
podendo simplificar para (4,-7,6).
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto P, a equação geral do plano é
4(x-1)-7(y-4)+6(z-0)=0,
que se expande para 4x - 7y + 6z + 24 = 0
Resposta
As retas são concorrentes no ponto (1,4,0). A equação geral do plano que as contém é 4x - 7y + 6z + 24 = 0.