Ache o polinômio de Taylor do 4.o grau para a função
em torno de
. Use o polinômio para aproximar
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) achar o polinômio de Taylor de grau 4 (Maclaurin) da função
em torno de
; (ii) usar esse polinômio para aproximar
.
Informações dadas e alvo:
- Função:
. - Ponto de expansão:
. - Grau do polinômio:
. - Valor a aproximar:
.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar). O polinômio de Taylor de grau
centrado em
(Maclaurin) é
Para montar
precisamos calcular
. Vou mostrar como obter cada derivada passo a passo (sem pular etapas).
Passo 3
Calculando derivadas sucessivas (usar regra do produto e derivada de
,
,
).
Função inicial:
Primeira derivada (produto):
Segunda derivada:
Agora somar os termos dentro da parêntese:
logo
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Somando os parenteses:
então
Observação útil: apareceu uma relação cíclica
, o que facilitaria derivadas de ordem maior, mas para o polinômio de grau 4 já basta o que calculamos.
Passo 4
Avaliar as derivadas em
.
Calcular cada valor:
Então os coeficientes a entrar em
estão prontos.
Passo 5
Montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores do Passo 4:
Simplificando os fatoriais:
Portanto
Esse é o polinômio de Taylor de grau
centrado em
(Maclaurin) para
.
Passo 6
Usar
para aproximar
. Seja
.
Passo a passo do cálculo numérico (vou mostrar contas que dá para fazer na prova sem calculadora, usando aproximações decimais para
).
Valor de
:
Já que
, precisamos de
.
Cálculos (arredondados com cuidado):
Agora inserir em
:
Somando os termos:
Arredondando razoavelmente, obtemos
Passo 7
Estimativa do erro (opcional, para saber a precisão). Resto de Lagrange
para algum
entre
e
. Podemos obter uma cota grosseira: usando a expressão para
e que para
vale
e
, obtemos
Então
Com
,
,
, isso dá uma cota da ordem de
. Ou seja, a aproximação com
tem erro bem menor que
— a aproximação acima de
costuma ser bastante precisa para uso prático.