Ache o polinômio de Taylor do 4.o grau para a função f(x)=e^{x} \cos x em torno de x_{0}=0. Use o polinômio para aproximar \&(\pi / 16).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) achar o polinômio de Taylor de grau 4 (Maclaurin) da função f(x)=e^{x}\cos x em torno de x_{0}=0; (ii) usar esse polinômio para aproximar f\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right).
Informações dadas e alvo:
  • Função: f(x)=e^{x}\cos x.
  • Ponto de expansão: x_{0}=0.
  • Grau do polinômio: 4.
  • Valor a aproximar: x=\dfrac{\pi}{16}.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar). O polinômio de Taylor de grau 4 centrado em 0 (Maclaurin) é
P_{4}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}.
Para montar P_{4} precisamos calcular f(0),f'(0),f''(0),f^{(3)}(0),f^{(4)}(0). Vou mostrar como obter cada derivada passo a passo (sem pular etapas).

Passo 3

Calculando derivadas sucessivas (usar regra do produto e derivada de e^{x}, \sin, \cos).
Função inicial:
f(x)=e^{x}\cos x.
Primeira derivada (produto):
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)\cos x + e^{x}\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x = e^{x}(\cos x-\sin x).
Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big[e^{x}(\cos x-\sin x)\big] = e^{x}(\cos x-\sin x) + e^{x}(-\sin x-\cos x).
Agora somar os termos dentro da parêntese:
(\cos x-\sin x)+(-\sin x-\cos x) = -2\sin x,
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f''(x)=-2e^{x}\sin x.
Terceira derivada:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(-2e^{x}\sin x\big) = -2\big(e^{x}\sin x + e^{x}\cos x\big) = -2e^{x}(\sin x+\cos x).
Quarta derivada:
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\big(-2e^{x}(\sin x+\cos x)\big) = -2\big(e^{x}(\sin x+\cos x)+e^{x}(\cos x-\sin x)\big).
Somando os parenteses:
(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x) = 2\cos x,
então
f^{(4)}(x)=-2\cdot e^{x}\cdot 2\cos x = -4e^{x}\cos x = -4f(x).
Observação útil: apareceu uma relação cíclica f^{(4)}(x)=-4f(x), o que facilitaria derivadas de ordem maior, mas para o polinômio de grau 4 já basta o que calculamos.

Passo 4

Avaliar as derivadas em 0.
Calcular cada valor:
f(0)=e^{0}\cos 0 = 1\cdot 1 = 1.
f'(0)=e^{0}(\cos 0-\sin 0)=1\cdot(1-0)=1.
f''(0)=-2e^{0}\sin 0 = -2\cdot 1\cdot 0 = 0.
f^{(3)}(0)=-2e^{0}(\sin 0+\cos 0)=-2\cdot 1\cdot(0+1)=-2.
f^{(4)}(0)=-4e^{0}\cos 0 = -4\cdot1\cdot1 = -4.
Então os coeficientes a entrar em P_{4} estão prontos.

Passo 5

Montar o polinômio de Taylor de grau 4 usando a fórmula do Passo 2:
P_{4}(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}.
Substituindo os valores do Passo 4:
P_{4}(x)=1 + 1\cdot x + \frac{0}{2!}x^{2} + \frac{-2}{3!}x^{3} + \frac{-4}{4!}x^{4}.
Simplificando os fatoriais:
\frac{-2}{3!} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},\qquad \frac{-4}{4!}=\frac{-4}{24}=-\frac{1}{6}.
Portanto
P_{4}(x)=1 + x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{6}.
Esse é o polinômio de Taylor de grau 4 centrado em 0 (Maclaurin) para f(x)=e^{x}\cos x.

Passo 6

Usar P_{4} para aproximar f\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right). Seja x=\dfrac{\pi}{16}.
Passo a passo do cálculo numérico (vou mostrar contas que dá para fazer na prova sem calculadora, usando aproximações decimais para \pi).
Valor de x:
x=\frac{\pi}{16}\approx 0,19634954084936207.
Já que P_{4}(x)=1+x-\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{6}, precisamos de x,x^{3},x^{4}.
Cálculos (arredondados com cuidado):
x\approx 0,19634954084936207.
x^{2}\approx 0,03855314019278151 \quad\text{(pode ser obtido como }\pi^{2}/256\text{)}.
x^{3}=x^{2}\cdot x \approx 0,03855314019278151\cdot 0,19634954084936207 \approx 0,00756989137768518.
x^{4}=x^{3}\cdot x \approx 0,00756989137768518\cdot 0,19634954084936207 \approx 0,00148634469496861.
Agora inserir em P_{4}:
-\frac{x^{3}}{3}\approx -\frac{0,00756989137768518}{3}\approx -0,00252329712589506,
-\frac{x^{4}}{6}\approx -\frac{0,00148634469496861}{6}\approx -0,00024772411582810.
Somando os termos:
P_{4}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 1 + 0,19634954084936207 - 0,00252329712589506 - 0,00024772411582810.
P_{4}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 1,193578519607639.
Arredondando razoavelmente, obtemos
P_{4}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 1,19357852.

Passo 7

Estimativa do erro (opcional, para saber a precisão). Resto de Lagrange R_{4}(x)=\dfrac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^{5} para algum \xi entre 0 e x. Podemos obter uma cota grosseira: usando a expressão para f^{(5)}(t)=-4f'(t)=-4e^{t}(\cos t-\sin t) e que para t\in[0,\pi/16] vale e^{t}\le e^{\pi/16} e |\cos t-\sin t|\le 2, obtemos
|f^{(5)}(\xi)|\le 8e^{\pi/16}\approx 9{,}736.
Então
|R_{4}(x)|\le \frac{9{,}736\;|x|^{5}}{5!}.
Com x=\dfrac{\pi}{16}, x^{5}\approx 0,0002917, 5!=120, isso dá uma cota da ordem de 2\times 10^{-5}. Ou seja, a aproximação com P_{4} tem erro bem menor que 10^{-4} — a aproximação acima de 1{,}19357852 costuma ser bastante precisa para uso prático.

Resposta

P_{4}(x)=1 + x - \dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{x^{4}}{6}.
f\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right)\approx 1{,}19357852.

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