Mostre que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo dado
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações dadas:
- A equação a ser resolvida é
. - O intervalo onde devemos provar existência de solução é
.
Passo 2
Transformar o problema em achar uma raiz de uma função mais conveniente. Defina a função
Explicação didática: resolver
é exatamente o mesmo que encontrar
tal que
. Isso é um truque padrão: passar tudo para um lado da igualdade e estudar zeros da nova função.
Passo 3
Apresentar o teorema que vamos usar (forma e ideia).
Teorema do Valor Intermediário (enunciado funcional e intuitivo): se uma função é contínua em um intervalo fechado
e os valores
e
têm sinais opostos (um é negativo e o outro positivo), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Teorema do Valor Intermediário (enunciado funcional e intuitivo): se uma função
Explicação didática: continuidade significa que a curva de
não faz “saltos”. Se em
ela está abaixo do eixo
e em
está acima, como não pode saltar, em algum ponto entre
e
ela tem que cortar o eixo
— esse corte é a raiz.
Passo 4
Verificar que
é contínua em
.
Razão passo a passo:
- A função
é contínua em todo . - A função exponencial base
pode ser escrita como . A função é contínua sempre que é contínua; aqui é contínua (é linear). - Produtos, somas e diferenças de funções contínuas são contínuos. Assim
é contínua, e então é diferença de duas funções contínuas, logo contínua em .
Comentário encorajador: em provas, esse tipo de justificação é o suficiente para afirmar continuidade — nada de pânico com definições epsilônicas aqui.
Passo 5
Calcular os valores de
nas extremidades do intervalo e verificar sinais.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
e
. Temos valores de sinais opostos nas extremidades.
Passo 6
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Como
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um ponto
tal que
isto é,
satisfaz
. Assim existe pelo menos uma solução da equação no intervalo pedido.
Motivação final amigável: é exatamente a ideia de “a curva vai de abaixo do eixo a acima do eixo sem saltos, então tem que atravessar”.
Passo 7
(Bônus — unicidade da solução, útil para ficar mais seguro) Mostrar que a solução é única.
Calcule a derivada de
:
Usando
e a regra da cadeia,
Portanto
Como
e
para todo
, segue que
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, então a raiz encontrada no Passo 6 é única. Assim existe exatamente uma solução em
.
Resposta
Existe exatamente uma solução
da equação
.