Mostre que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo dado
x=3^{-x},[0,1]

Passo 1

O enunciado pede que se mostre que a equação
x = 3^{-x}
tem pelo menos uma solução no intervalo [0,1].
Informações dadas:
  • A equação a ser resolvida é x = 3^{-x}.
  • O intervalo onde devemos provar existência de solução é [0,1].

Passo 2

Transformar o problema em achar uma raiz de uma função mais conveniente. Defina a função
f(x)=x-3^{-x}.
Explicação didática: resolver x=3^{-x} é exatamente o mesmo que encontrar x tal que f(x)=0. Isso é um truque padrão: passar tudo para um lado da igualdade e estudar zeros da nova função.

Passo 3

Apresentar o teorema que vamos usar (forma e ideia).
Teorema do Valor Intermediário (enunciado funcional e intuitivo): se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e os valores f(a) e f(b) têm sinais opostos (um é negativo e o outro positivo), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Explicação didática: continuidade significa que a curva de f não faz “saltos”. Se em a ela está abaixo do eixo x e em b está acima, como não pode saltar, em algum ponto entre a e b ela tem que cortar o eixo x — esse corte é a raiz.

Passo 4

Verificar que f é contínua em [0,1].
Razão passo a passo:
  • A função x\mapsto x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função exponencial base 3 pode ser escrita como 3^{-x}=e^{-x\ln 3}. A função x\mapsto e^{u(x)} é contínua sempre que u(x) é contínua; aqui u(x)=-x\ln 3 é contínua (é linear).
  • Produtos, somas e diferenças de funções contínuas são contínuos. Assim x\mapsto 3^{-x} é contínua, e então f(x)=x-3^{-x} é diferença de duas funções contínuas, logo contínua em [0,1].
Comentário encorajador: em provas, esse tipo de justificação é o suficiente para afirmar continuidade — nada de pânico com definições epsilônicas aqui.

Passo 5

Calcular os valores de f nas extremidades do intervalo e verificar sinais.
Calcule f(0):
f(0)=0-3^{0}=0-1=-1.
Calcule f(1):
f(1)=1-3^{-1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}>0.
Portanto f(0)=-1<0 e f(1)=\tfrac{2}{3}>0. Temos valores de sinais opostos nas extremidades.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Como f é contínua em [0,1] e f(0) e f(1) têm sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um ponto \xi\in(0,1) tal que
f(\xi)=0,
isto é, \xi satisfaz \xi=3^{-\xi}. Assim existe pelo menos uma solução da equação no intervalo pedido.
Motivação final amigável: é exatamente a ideia de “a curva vai de abaixo do eixo a acima do eixo sem saltos, então tem que atravessar”.

Passo 7

(Bônus — unicidade da solução, útil para ficar mais seguro) Mostrar que a solução é única.
Calcule a derivada de f:
f'(x)=1-\frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr).
Usando 3^{-x}=e^{-x\ln 3} e a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr)=-\ln 3\;3^{-x}.
Portanto
f'(x)=1-(-\ln 3\;3^{-x})=1+\ln 3\;3^{-x}.
Como \ln 3>0 e 3^{-x}>0 para todo x, segue que f'(x)>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente em [0,1]. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz, então a raiz encontrada no Passo 6 é única. Assim existe exatamente uma solução em [0,1].

Resposta

Existe exatamente uma solução \xi\in(0,1) da equação \;x=3^{-x}.

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