Mostre que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo dado
x^{3}=e^{x} \operatorname{sen} x,[1,4]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^{3}=e^{x}\operatorname{sen} x
tem pelo menos uma solução no intervalo [1,4].
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo onde procurar solução é [1,4].
  • A equação envolve as funções x^{3}, e^{x} e \operatorname{sen} x.
O que vamos procurar: um ponto c\in[1,4] tal que a igualdade acima seja satisfeita. Para isso, transformaremos a equação numa função cujas raízes correspondem às soluções do problema.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^{3}-e^{x}\operatorname{sen} x.
Observação didática: uma solução da equação x^{3}=e^{x}\operatorname{sen} x é exatamente uma raiz de f, isto é, um x com f(x)=0.
Agora, por que trabalhar com f? Porque existe um teorema muito útil (o Teorema do Valor Intermediário) que garante existência de raízes quando uma função contínua muda de sinal num intervalo. Então precisamos:
  1. Mostrar que f é contínua em [1,4].
  2. Mostrar que f(1) e f(4) têm sinais opostos.
Sobre continuidade: x^{3} é polinômio (contínuo em \mathbb{R}), e^{x} é contínua e \operatorname{sen} x é contínua; o produto e^{x}\operatorname{sen} x é contínuo e a diferença de funções contínuas é contínua. Logo f é contínua em todo o intervalo [1,4]. Isso é o que precisamos para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calcular f(1).
f(1)=1^{3}-e^{1}\operatorname{sen} 1 = 1 - e\operatorname{sen} 1.
Agora uma estimativa numérica (para ver o sinal). Usando aproximações padrão:
\operatorname{sen} 1 \approx 0{,}8414709848,\qquad e\approx 2{,}718281828.
Portanto
e\operatorname{sen} 1 \approx 2{,}718281828\cdot 0{,}8414709848 \approx 2{,}287355.
Assim
f(1)\approx 1 - 2{,}287355 \approx -1{,}287355<0.
Conclusão: f(1)<0.
(Dica didática: não é necessário ter muitos dígitos; o importante é ver que e\sin1 é maior que 1, dando sinal negativo em f(1).)

Passo 4

Calcular f(4).
f(4)=4^{3}-e^{4}\operatorname{sen} 4 = 64 - e^{4}\operatorname{sen} 4.
Novamente uma estimativa numérica:
\operatorname{sen} 4 \approx -0{,}7568024953,\qquad e^{4}\approx 54{,}59815003.
Então
e^{4}\operatorname{sen} 4 \approx 54{,}59815003\cdot(-0{,}7568024953)\approx -41{,}320.
Portanto
f(4)\approx 64 - (-41{,}320) = 64 + 41{,}320 \approx 105{,}320>0.
Conclusão: f(4)>0.
(Observação: aqui não foi necessário um valor exato, apenas reconhecer que \operatorname{sen} 4 é negativo, então e^{4}\operatorname{sen} 4 é negativo e 64- (\text{número negativo})ú é maior que 64>0.)

Passo 5

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Enunciado do TVI (versão usada): se uma função g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Aplicando ao nosso caso:
  • Já mostramos que f é contínua em [1,4].
  • Encontramos f(1)<0 e f(4)>0, portanto f(1)\cdot f(4)<0.
Pelo TVI existe então algum c\in(1,4) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja,
c^{3}=e^{c}\operatorname{sen} c.

Resposta

Existe c\in(1,4) tal que c^{3}=e^{c}\operatorname{sen} c.

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