Mostre que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações relevantes dadas:
- O intervalo onde procurar solução é
. - A equação envolve as funções
, e .
O que vamos procurar: um ponto
tal que a igualdade acima seja satisfeita. Para isso, transformaremos a equação numa função cujas raízes correspondem às soluções do problema.
Passo 2
Definimos a função
Observação didática: uma solução da equação
é exatamente uma raiz de
, isto é, um
com
.
Agora, por que trabalhar com
? Porque existe um teorema muito útil (o Teorema do Valor Intermediário) que garante existência de raízes quando uma função contínua muda de sinal num intervalo. Então precisamos:
- Mostrar que
é contínua em . - Mostrar que
e têm sinais opostos.
Sobre continuidade:
é polinômio (contínuo em
),
é contínua e
é contínua; o produto
é contínuo e a diferença de funções contínuas é contínua. Logo
é contínua em todo o intervalo
. Isso é o que precisamos para aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 3
Calcular
.
Agora uma estimativa numérica (para ver o sinal). Usando aproximações padrão:
Portanto
Assim
Conclusão:
.
(Dica didática: não é necessário ter muitos dígitos; o importante é ver que
é maior que
, dando sinal negativo em
.)
Passo 4
Calcular
.
Novamente uma estimativa numérica:
Então
Portanto
Conclusão:
.
(Observação: aqui não foi necessário um valor exato, apenas reconhecer que
é negativo, então
é negativo e
é maior que
.)
Passo 5
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Enunciado do TVI (versão usada): se uma função
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Aplicando ao nosso caso:
- Já mostramos que
é contínua em . - Encontramos
e , portanto .
Pelo TVI existe então algum
tal que
ou seja,
Resposta
Existe
tal que
.