Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{t / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
y'' + 4y' + 4y = e^{t/2}.
O que é pedido: determinar a solução geral y(t) dessa equação (ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular). Informações importantes fornecidas:
  • O lado esquerdo é linear e homogêneo em y com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é e^{t/2}.
  • Não há outros dados iniciais — queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y'' + 4y' + 4y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Introduzimos r tal que tentamos y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2} + 4r + 4 = 0.
Resolvendo essa quadrática: r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}. Logo há uma raiz real dupla
r=-2\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a raiz r da característica tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é da forma
y_{h}(t) = \big(C_{1} + C_{2}t\big)e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação curta do porquê do fator t: para uma raiz dupla r as duas soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Observações e escolha do ansatz:
  • O termo não-homogêneo é e^{t/2}, que é uma função exponencial do tipo e^{\alpha t} com \alpha=\tfrac{1}{2}.
  • Regra prática: se e^{\alpha t} NÃO é solução da homogênea (i.e. \alpha não é raiz da característica), tentamos y_{p}=A e^{\alpha t} com A constante a determinar.
  • Primeiro verificar se \alpha=\tfrac{1}{2} é raiz da característica; a característica tem raiz -2, logo \tfrac{1}{2}\neq -2. Portanto usamos o ansatz simples:
y_{p}(t) = A e^{t/2},
onde A é constante desconhecida.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação para encontrar A.
Derivadas:
y_{p}'(t) = \tfrac{1}{2}A e^{t/2}, \qquad y_{p}''(t) = \tfrac{1}{4}A e^{t/2}.
Substituindo em y''+4y'+4y:
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = \big(\tfrac{1}{4}A + 4\cdot\tfrac{1}{2}A + 4A\big)e^{t/2}.
Agora somamos os coeficientes numéricos:
\tfrac{1}{4}A + 2A + 4A = \left(\tfrac{1}{4} + 2 + 4\right)A.
Converter para quarto: 2=\tfrac{8}{4}, 4=\tfrac{16}{4}. Então
\tfrac{1}{4} + 2 + 4 = \tfrac{1}{4} + \tfrac{8}{4} + \tfrac{16}{4} = \tfrac{25}{4}.
Portanto
y_{p}'' + 4y_{p}' + 4y_{p} = \tfrac{25}{4}A\, e^{t/2}.
Queremos que isso seja igual a e^{t/2}, portanto
\tfrac{25}{4}A\, e^{t/2} = 1\cdot e^{t/2}.
Cancelando e^{t/2} (não é zero), obtemos a equação para A:
\tfrac{25}{4}A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac{4}{25}.
Logo a solução particular é
y_{p}(t) = \tfrac{4}{25}\, e^{t/2}.

Passo 5

Montar a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = \big(C_{1} + C_{2}t\big)e^{-2t} + \tfrac{4}{25}\, e^{t/2},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Pequeno incentivo: essa forma é direta de memorizar para a prova — primeiro a parte homogênea (raízes da característica, lembrar do fator t para multiplicidade) e depois um palpite para a particular adaptado ao tipo do termo forçado (exponencial, polinômio, seno/cosseno) e verificar se é preciso multiplicar por potências de t quando houver coincidência com a solução homogênea.

Resposta

y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{-2t}+\tfrac{4}{25}\,e^{t/2}

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