Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo:
O que é pedido: determinar a solução geral
dessa equação (ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular). Informações importantes fornecidas:
- O lado esquerdo é linear e homogêneo em
com coeficientes constantes. - O termo não-homogêneo é
. - Não há outros dados iniciais — queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Introduzimos
tal que tentamos
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
. Logo há uma raiz real dupla
Quando a raiz
da característica tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é da forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação curta do porquê do fator
: para uma raiz dupla
as duas soluções independentes são
e
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa usando o método dos coeficientes a determinar. Observações e escolha do ansatz:
- O termo não-homogêneo é
, que é uma função exponencial do tipo com . - Regra prática: se
NÃO é solução da homogênea (i.e. não é raiz da característica), tentamos com constante a determinar. - Primeiro verificar se
é raiz da característica; a característica tem raiz , logo . Portanto usamos o ansatz simples:
onde
é constante desconhecida.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para encontrar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Agora somamos os coeficientes numéricos:
Converter para quarto:
,
. Então
Portanto
Queremos que isso seja igual a
, portanto
Cancelando
(não é zero), obtemos a equação para
:
Logo a solução particular é
Passo 5
Montar a solução geral como soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias. Pequeno incentivo: essa forma é direta de memorizar para a prova — primeiro a parte homogênea (raízes da característica, lembrar do fator
para multiplicidade) e depois um palpite para a particular adaptado ao tipo do termo forçado (exponencial, polinômio, seno/cosseno) e verificar se é preciso multiplicar por potências de
quando houver coincidência com a solução homogênea.