Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificar cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vamos usar o método das derivadas parciais iguais a zero para achar os pontos críticos e depois o teste da Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Resolvendo
Assim os pontos críticos são
,
,
e
.
Passo 3
Para classificar, calculamos as segundas derivadas e a Hessiana:
A matriz Hessiana é
e seu determinante é
.
Passo 4
Em cada ponto crítico avaliamos
,
e
:
(1) Em
:
Como
e
, temos máximo local.
(2) Em
:
Como
, é ponto de sela.
(3) Em
:
Como
, é ponto de sela.
(4) Em
:
Como
e
, é mínimo local.
Resposta
(1,1) máximo local
(1,5) ponto de sela
(3,1) ponto de sela
(3,5) mínimo local
(1,5) ponto de sela
(3,1) ponto de sela
(3,5) mínimo local