Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
f(x, y)=13 x^3+13 y^3-2 x^2-3 y^2+3 x+5 y+40

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=13x^3+13y^3-2x^2-3y^2+3x+5y+40
e classificar cada um (máximo, mínimo ou ponto de sela). Vamos usar o método das derivadas parciais iguais a zero para achar os pontos críticos e depois o teste da Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x=x^2-4x+3, fy = partial fpartial y=y^2-6y+5
Resolvendo
x^2-4x+3=0implies x=1 ou x=3,
y^2-6y+5=0implies y=1 ou y=5
Assim os pontos críticos são
(1,1), (1,5), (3,1) e (3,5).

Passo 3

Para classificar, calculamos as segundas derivadas e a Hessiana:
fxx=2x-4, fyy=2y-6, fxy=fyx=0
A matriz Hessiana é
H=fxx&00&fyy,
e seu determinante é det H=(2x-4)(2y-6).

Passo 4

Em cada ponto crítico avaliamos fxx, fyy e det H:
(1) Em (1,1):
fxx=2cdot1-4=-2, fyy=2cdot1-6=-4, det H=(-2)(-4)=8>0
Como det H>0 e fxx<0, temos máximo local.
(2) Em (1,5):
fxx=-2, fyy=2cdot5-6=4, det H=(-2)(4)=-8<0
Como det H<0, é ponto de sela.
(3) Em (3,1):
fxx=2cdot3-4=2, fyy=-4, det H=2cdot(-4)=-8<0
Como det H<0, é ponto de sela.
(4) Em (3,5):
fxx=2, fyy=4, det H=2cdot4=8>0
Como det H>0 e fxx>0, é mínimo local.

Resposta

(1,1) máximo local
(1,5) ponto de sela
(3,1) ponto de sela
(3,5) mínimo local

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