Discuta duas aplicações das equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado nos pede para discutir duas aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que têm a forma geral
Vamos escolher dois casos clássicos em engenharia: vibrações mecânicas e circuitos elétricos RLC.
Passo 2
Na modelagem de vibrações mecânicas de um sistema massa-mola-amortecedor, a lei de Newton resulta em
onde
é a massa,
o coeficiente de amortecimento,
a constante da mola,
o deslocamento e
uma força externa. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Estudando as raízes da equação característica
podemos classificar o sistema como subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido, e prever comportamentos como ressonância e amortecimento.
Passo 3
Em circuitos elétricos série RLC, aplicamos a segunda lei de Kirchhoff e obtemos
onde
é a indutância,
a resistência,
a capacitância,
a carga no capacitor e
a tensão aplicada. Essa equação também é linear de segunda ordem e conduz à mesma análise de amortecimento e ressonância, só que agora em termos de oscilação de corrente ou de tensão no circuito.
Resposta
(1) Sistema massa–mola–amortecedor em vibrações mecânicas, modelado por
(2) Circuito elétrico série RLC, modelado por