Discuta duas aplicações das equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado nos pede para discutir duas aplicações de equações diferenciais lineares de segunda ordem, que têm a forma geral
a2(x),d^2ydx^2 + a1(x),dydx + a0(x),y = g(x)
Vamos escolher dois casos clássicos em engenharia: vibrações mecânicas e circuitos elétricos RLC.

Passo 2

Na modelagem de vibrações mecânicas de um sistema massa-mola-amortecedor, a lei de Newton resulta em
md^2xdt^2 + cdxdt + k,x = F(t),
onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento, k a constante da mola, x(t) o deslocamento e F(t) uma força externa. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Estudando as raízes da equação característica
m r^2 + c r + k = 0
podemos classificar o sistema como subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido, e prever comportamentos como ressonância e amortecimento.

Passo 3

Em circuitos elétricos série RLC, aplicamos a segunda lei de Kirchhoff e obtemos
Ld^2qdt^2 + Rdqdt + 1C,q = V(t),
onde L é a indutância, R a resistência, C a capacitância, q(t) a carga no capacitor e V(t) a tensão aplicada. Essa equação também é linear de segunda ordem e conduz à mesma análise de amortecimento e ressonância, só que agora em termos de oscilação de corrente ou de tensão no circuito.

Resposta

(1) Sistema massa–mola–amortecedor em vibrações mecânicas, modelado por
m,x'' + c,x' + k,x = F(t)
(2) Circuito elétrico série RLC, modelado por
L,q'' + R,q' + tfrac1C,q = V(t)

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