QUESTÃO EXTRA: Calcule a derivada da função abaixo por quociente e depois tomando em primeiro lugar o log natural de ambos os lados: Compare os resultados!
y=x^2(x+3)(2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=x^2(x+3)(2x+1)
por dois métodos: (i) usando a regra do quociente e (ii) usando diferenciação logarítmica (tomando ln nos dois lados e depois derivando). Depois comparamos os resultados.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, definimos
f(x)=x^2, g(x)=(x+3)(2x+1)=2x^2+7x+3
Então
f'(x)=2x, g'(x)=ddx(2x^2+7x+3)=4x+7
Logo
y'=f'(x),g(x)-f(x),g'(x)[g(x)]^2 =2x,(2x^2+7x+3)-x^2,(4x+7)(2x^2+7x+3)^2
No numerador:
2x(2x^2+7x+3)-x^2(4x+7) =4x^3+14x^2+6x-4x^3-7x^2 =7x^2+6x
Portanto
y'=7x^2+6xl((x+3)(2x+1)r)^2 =x(7x+6)(x+3)^2(2x+1)^2

Passo 3

Agora, diferenciação logarítmica. Começamos com
ln y = lnl(x^2r)-ln(x+3)-ln(2x+1) =2ln x - ln(x+3) - ln(2x+1)
Derivando ambos os lados em relação a x:
y'y =2x-1x+3-22x+1
Para simplificar o lado direito, colocamos sobre o mesmo denominador x(x+3)(2x+1). O numerador fica
2(x+3)(2x+1)-x(2x+1)-2x(x+3) =4x^2+14x+6-2x^2-x-2x^2-6x =7x+6
Assim
y'y=7x+6x(x+3)(2x+1),
e como y=x^2(x+3)(2x+1) temos
y' = ycdot7x+6x(x+3)(2x+1) =x^2(x+3)(2x+1)cdot7x+6x(x+3)(2x+1) =x(7x+6)(x+3)^2(2x+1)^2

Passo 4

Os dois métodos deram o mesmo resultado para y'.

Resposta

y'=7x^2+6x(x+3)^2(2x+1)^2 l(ou;x(7x+6)(x+3)^2(2x+1)^2r)

Exercícios relacionados