Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de e classificá-los usando derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana. Vamos calcular o gradiente para achar os candidatos a pontos críticos e depois usar a Hessiana para determinar sua natureza.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Portanto o gradiente é
Passo 3
Para pontos críticos, igualamos o gradiente a zero:
que implica
Logo há um único ponto crítico em .
Passo 4
A matriz Hessiana de é
O determinante é
det Hf = 0cdot0 - 2cdot2 = -4 < 0,
indicando que (0,0) é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), e trata-se de um ponto de sela.