Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classifique-os.
f(x, y)=3+2 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y)=3+2xy e classificá-los usando derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana. Vamos calcular o gradiente para achar os candidatos a pontos críticos e depois usar a Hessiana para determinar sua natureza.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2y,
partial fpartial y=2x
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y) = l(2y,,2xr)

Passo 3

Para pontos críticos, igualamos o gradiente a zero:
2y=0, 2x=0
que implica
x=0, y=0
Logo há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
Hf(x,y)= partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 0 & 2 2 & 0
O determinante é
det Hf = 0cdot0 - 2cdot2 = -4 < 0,
indicando que (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e trata-se de um ponto de sela.

Exercícios relacionados