Utilize o Teste da Comparação Direta ou Comparação por Limite para determinar se cada série é divergente ou convergente:
sumn=1^+infty 1n 3^n

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 1n,3^n
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação Direta ou o Teste de Comparação por Limite. O conteúdo aqui é séries numéricas e comparação com uma série geométrica convergente de razão 1/3.

Passo 2

Para usar o Teste da Comparação Direta, observamos que, para todo n>=1,
1n,3^n<= 13^n,
e sabemos que a série geométrica
sumn=1^infty13^n
é convergente (pois a razão tfrac13 satisfaz |tfrac13|<1). Logo, pelo Teste da Comparação Direta, a série dada também converge.

Passo 3

Como verificação extra, aplicamos o Teste de Comparação por Limite comparando
an = 1n,3^n com bn = 13^n,
Calculamos
limntoinftyanbn =limntoinfty1/(n,3^n)1/3^n =limntoinfty1n =0,
que é finito e não nulo. Como sum bn converge, conclui-se que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n,3^n é convergente.

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