Ache os pontos críticos da função
e determine quais deles são pontos de mínimo local, máximo local e pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e descobrir se esses pontos são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Um ponto crítico ocorre onde todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Passo 5
Assim, os pontos críticos são as combinações desses valores de
e
:
Passo 6
Agora, vamos classificar cada um desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
:
Passo 7
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 8
Vamos analisar cada ponto:
-
Ponto (1, 1):Como
, esse ponto é um ponto de sela. -
Ponto (1, -1):Como
e , esse ponto é um mínimo local. -
Ponto (-1, 1):Como
e , esse ponto é um máximo local. -
Ponto (-1, -1):Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
— ponto de sela -
— mínimo local -
— máximo local -
— ponto de sela