Ache os pontos críticos da função
f(x, y)=x^3-y^3-3 x+3 y
e determine quais deles são pontos de mínimo local, máximo local e pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e descobrir se esses pontos são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de várias variáveis, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Um ponto crítico ocorre onde todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero. Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de fx = partial fpartial x = 3x^2 - 3 em relação a fy = partial fpartial y = -3y^2 + 3 :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
3x^2 - 3 = 0 e -3y^2 + 3 = 0
Resolvendo a primeira equação:
3x^2 - 3 = 0 Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
E a segunda equação:
-3y^2 + 3 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1

Passo 5

Assim, os pontos críticos são as combinações desses valores de (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) e :

Passo 6

Agora, vamos classificar cada um desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x :
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0

Passo 7

O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Vamos calcular para cada ponto crítico.

Passo 8

Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto (1, 1):
    fxx = 6(1) = 6
    fyy = -6(1) = -6
    D = 6 cdot (-6) - 0^2 = -36
    Como fxx = 6(1) = 6 , esse ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto (1, -1):
    fyy = -6(-1) = 6
    D = 6 cdot 6 - 0^2 = 36
    fxx = 6(-1) = -6
    Como fyy = -6(1) = -6 e D = (-6) cdot (-6) - 0^2 = 36 , esse ponto é um mínimo local.
  3. Ponto (-1, 1):
    fxx = 6(-1) = -6
    fyy = -6(-1) = 6
    D = (-6) cdot 6 - 0^2 = -36
    Como e , esse ponto é um máximo local.
  4. Ponto (-1, -1):
    Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • — ponto de sela
  • — mínimo local
  • — máximo local
  • — ponto de sela

Exercícios relacionados